Es $x^{2\cdot 3^n}+x^{3^n}+1$ ¿Irreducible (mod 2)?

Question

Soy nuevo en la teoría de campos finitos, sin embargo después de hacer alguna búsqueda trivial sobre polinomios primitivos, parece que los polinomios de la forma $$x^{2\cdot3^n}+x^{3^n}+1 \pmod 2$$ son irreducibles.

¿Es posible demostrarlo? Creo que no es posible aplicar el método de comprobar todos los generadores ( $\phi(2^{2\cdot 3^n}-1)$ ) para encontrar el orden de los ceros ( ver esta pregunta ). ¿Qué debo hacer?

Es fácil mostrar que este polinomio no es primitivo.

He comprobado la reclamación de $n=\{1,2,3,4,5,6\}$ utilizando WolframAlpha y es cierto.

Answer 1

Observe que $(x^{2\cdot 3^n}+x^{3^n}+1)(x^{3^n}-1)=x^{3^{n+1}}-1$ , por lo que su polinomio es el $3^{n+1}$ polinomio ciclotómico.

El $n$ polinomio ciclotómico es irreducible sobre $\mathbb{F}_p$ exactamente cuando $p$ es una raíz primitiva mod $n$ .

Como 2 es siempre una raíz primitiva mod $3^n$ su polinomio es irreducible.