¿Qué es una visión intuitiva de los colindantes? (versión 2: análisis funcional)

Question

Después de darme cuenta de que no tengo una comprensión intuitiva del adjunto functores Entonces me di cuenta de que no tengo una comprensión intuitiva del adjunto transformaciones lineales ¡!

De nuevo, puedo usarlos, calcularlos y convolucionarlos, pero no tengo ninguna intuición real sobre lo que está pasando. Mis mejores intentos (cuando los enseñaba) eran:

1. El adjunto nos permite desplazar cosas de un lado del producto interior al otro, con lo que, en cierto modo, lo apartamos mientras hacemos algo y lo volvemos a desplazar.
2. Un buen comportamiento con respecto al adjunto (digamos, normal o unitario) se traduce en un buen comportamiento con respecto al producto interior.

Pero ninguno de ellos es realmente sobre lo que el adjunto es justo lo que hace.

Answer 1

No responde a tu pregunta, pero sólo para lanzar algunos pensamientos cansados y a medias que podrían formar el núcleo para las respuestas más sensatas de otra persona:

Para mí, el adjunto de un operador no es más que lo que ocurre cuando se dualiza un mapa continuo entre espacios de Banach. (Por supuesto, no es necesario trabajar en este entorno, pero es en el que he pasado más tiempo). Hay entonces algunos pequeños factlets estándar, la mayoría de los cuales probablemente se pueden extraer de las partes adecuadas del libro de Rudin u otros buenos textos: un operador tiene rango denso (en la topología de la norma del espacio objetivo) si y sólo si su adjunto es inyectivo; un operador es inyectivo con rango cerrado si y sólo si su adjunto es suryectivo.

Pero como dices, estos se refieren más a lo que hace el adjunto, no a lo que es. Supongo que lo mejor que puedo decir es que la existencia del adjunto de un operador es sólo un testimonio del hecho de que la dualidad de los espacios de Banach es (contravariantemente) functorial. Obtendrías nociones similares de adjuntos siempre que tengas una categoría cerrada y fijes un objeto C y mires el functor Hom(_,C).

En cuanto a lo que ocurre en el espacio de Hilbert, que parece ser realmente lo que preguntabas, ahí soy aún menos capaz de expresar lo que media en contraposición a lo que hacer y todas las bonitas propiedades que tienen.

Answer 2

Recomiendo este artículo lo que da una muy buena analogía entre los adjuntos y los conjugados complejos.