¿Existe una clasificación de los anillos conmutativos finitos? Si no es así, ¿cuáles son los mejores teoremas de estructura que se conocen en la actualidad? Todo lo que sé es un resultado que dice que todo anillo conmutativo finito es un producto directo de anillos conmutativos locales (esto es correcto, ¿no?) en algún artículo que calcula el tamaño del grupo lineal general sobre ese anillo.
Respuestas
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Nick Cox
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16
Esta es una cuestión muy interesante relacionada con el esquema de Hilbert $Hilb^n(\mathbb A^d)$ clasificar $n$ puntos en el espacio afín $\mathbb A^d$ . No creo que exista una clasificación pero sí una estimación del número de anillos conmutativos de orden $\leq N$ . Es
$$exp[\frac{2}{27} \frac{log(N)^3}{(log 2)^2} \; +O(log(N)^{\frac {8}{3}})] \quad for N\to \infty $$
La demostración de este resultado debido a Bjorn Poonen y de muchos teoremas interesantes relacionados se encuentra en su artículo
También encontrará en el artículo conjeturas sorprendentes como:
La fracción de anillos locales de orden $\leq N$ entre todos los anillos conmutativos $A$ de orden $\leq N$ tiende a 1. El mismo límite 1 para la fracción de anillos "de característica 8" en el sentido de que $8 . 1_A =0$ pero $4 .1 _A \neq 0$ .
Sí, un anillo finito $R$ es una suma directa finita de anillos locales finitos. Como primer paso, para cada primo $p$ hay un subring $R_p$ de $R$ correspondiente a los elementos aniquilados por las potencias de $p$ . $\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{R_p\ \style{font-family:inherit;}{\text{is then an}}\hspace{-7mm}}$ $\enclose{horizontalstrike}{\style{font-family:inherit;}{\text{algebra over}}\ \mathbb{Z}/p.}$ $R_p$ entonces se asemeja a un álgebra sobre $\mathbb{Z}/p$ y podría ser una, pero también puede tener una estructura más complicada como una abeliana $p$ -grupo (ver más abajo). Este paso se generaliza a los ideales maximales: Para cada ideal maximal $m$ , $R_m$ es el subring de elementos aniquilados por $m^n$ para algunos $n$ et $R$ es la suma directa de estos subrings, que son anillos locales.
No es difícil escribir una clasificación parcial aproximada de los anillos finitos locales. Si $R$ es local con ideal máximo $m$ , es es se parece a un álgebra sobre el campo finito $F = R/m$ el anillo graduado asociado es un álgebra de este tipo. Si se elige una base $x_1,\ldots,x_n$ para $m/m^2$ entonces $R$ o su gradación asociada es un cociente del anillo de polinomios $F[\vec{x}]$ en la que sólo un número finito de monomios es distinto de cero. Se puede hacer un diagrama de estos monomios no nulos; pueden ser cualquier ideal de orden en el $n$ -ortante de dimensión. O, en forma independiente de la base, $R$ tiene una longitud, que es la mayor potencia no evanescente de $m$ y cada $m^k/m^{k+1}$ es algún cociente del $k$ potencia simétrica del espacio vectorial generador $V = m/m^2$ .
Después, los monomios no nulos pueden ser linealmente dependientes (y no importa que $R$ puede ser más complicada que su asociada graduada). Informalmente, habrá un sinfín de resultados parciales y nunca habrá una clasificación completa cuando la longitud del anillo local sea 3 o más. Para ver esto, supongamos que $m^4 = 0$ y supongamos que $m^3$ es sólo una dimensión menos que $S^3(V)$ . Entonces el anillo está definido por una forma trilineal simétrica arbitraria en $V$ . Estos hacen una secuencia "salvaje" de variedades algebraicas, en el mismo sentido que la gente dice que las teorías de representación de ciertos anillos son salvajes. Por ejemplo, creo (no estoy muy seguro) que es NP-difícil determinar cuándo dos formas trilineales de este tipo son equivalentes. La dureza NP no es por sí misma rigurosamente equivalente a la no clasificación, pero informalmente la clasificación es un lío intratable.
Si los monomios no evanescentes en $R$ son linealmente independientes, entonces es un anillo local tórico. Los anillos locales tóricos son ciertamente una clase manejable de anillos finitos.
La situación es similar a la de los no conmutativos $p$ -grupos, que también son salvajes y nunca serán clasificados. En ambos casos, ciertas clases tienen una bonita estructura. También es interesante hacer estimaciones de cuántas hay.
Nota: Corregido por comentario.
TomvB
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131
La caracterización de Anillos artinianos es relevante, por supuesto. Véase también el libro "Anillos conmutativos finitos y sus aplicaciones" y esta página web .
noocyte
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1112
Como siempre hay que consultar la OEIS para este tipo de cuestiones. En este caso, véase http://oeis.org/A027623
