Explicación de la construcción Thom-Pontryagin (y sus generalizaciones)

Question

En 1950, Pontryagin demostró que el n-ésimo grupo de cobordismo enmarcado de las variedades lisas era igual al n-ésimo grupo de homotopía estable de las esferas:

$$ \lim_{k \to \infty} \pi_{n+k}(S^k) \cong \Omega_n^{\text{framed}}.$$

Más tarde, en su artículo de 1954, Thom generaliza esto con los ahora llamados espacios de Thom, y muestra que existe una correspondencia similar para tipos más generales de cobordismo: variedades con un $(B,f)$ estructura en su haz normal; por ejemplo, el cobordismo no orientado para $B = BO$ , cobordismo orientado para $B = BSO$ , cobordismo complejo para $B = BU$ , enmarcado en el cobordismo para $B = BI$ para la identidad $I$ en $O$ etc. (Thom considera los casos $BO$ y $BSO$ .)
La generalización a la que llegó, ahora llamada construcción Thom-Pontryagin, es la siguiente:

$$\lim_{k \to \infty}\pi_{n+k}(TB_k) \cong \Omega_n^{(B,f)}, $$

donde $TB$ es el espacio Thom del haz universal sobre $B$ dado por el mapa clasificador $B \to BO$ ; $TB$ se obtiene añadiendo un punto en el infinito a cada fibra y pegando todos estos puntos añadidos a un único punto en el espacio total del haz.

De hecho, el resultado puede generalizarse aún más considerando el cobordismo como una teoría de la homología, y se llega a lo siguiente:

$$\Omega_n^{(B,f)}(X,Y) \cong \lim_{k \to \infty} \pi_{n+k}(X/Y \wedge TB_k),$$

donde, si $Y$ está vacía, $X/Y$ es la unión disjunta de $X$ con un punto (y $\wedge$ es el producto de la ruptura). Aquí $\Omega_n(X,\emptyset)$ debe entenderse como un cobordismo relativo sobre $X$ . Esto generaliza claramente el resultado anterior tomando $X$ para ser un punto (y $Y$ vacío).

Ahora, mi pregunta es, ¿cómo entiendes la construcción Thom-Pontryagin? He visto algunas menciones a una forma particularmente visual de entenderla, pero sin mucho que lo respalde (aparte de, según recuerdo, algunas menciones a manchas de tinta). Las pruebas estándar (en Stong's Notas sobre la teoría del cobordismo o en el documento original de Thom, por ejemplo) son bastante largos y me cuesta mantener mi intuición geométrica en todo momento.

Answer 1

Dejemos que $M$ sea una zona lisa y compacta $n$ -con un marco estable. Entonces el mapa de Pontryagin funciona así:

1. Sólo hay una incrustación de $M$ en $\mathbb{R}^{k+n}$ para $k \gg n$ .
2. Un marco estable de $M$ induce un encuadre normal de $M$ porque el paquete total de $M$ en esta incrustación es trivial.
3. Hacer un barrio tubular $N$ alrededor de $M$ que es difeomorfo al haz normal de $M$ .
4. Hacer un mapa de $\mathbb{R}^{k+n}$ a $S^k = \mathbb{R}^k \cup \{\infty\}$ que envía el complemento de $N$ a $\infty$ y envía cada fibra normal a $\mathbb{R}^k$ utilizando el marco de esa fibra. El mapa se extiende a $S^{k+n}$ enviando $\infty$ a $\infty$ .

Se puede demostrar que una clase de cobordismo va a una clase de homotopía con básicamente la misma construcción en la siguiente dimensión. Así se obtiene un homomorfismo bien definido. Se necesita más trabajo para demostrar que es un isomorfismo, pero creo que se puede hacer con consideraciones geométricas similares. Por ejemplo, para demostrar que es sobreyectivo, consideremos un mapa genérico suave de $S^{k+n}$ a $S^k$ . La imagen inversa de $0 \in \mathbb{R}^k \subset S^k$ es un colector, una pequeña vecindad de $0$ vuelve a un haz normal enmarcado $N$ y (a grandes rasgos) todo lo que está fuera de $N$ se puede meter en $\infty$ con una homotopía.

Answer 2

Esta es una pregunta interesante, y la respuesta de Greg es excelente. ¡Pensar en esto fue muy agradable!
En cuanto a la construcción Pontryagin-Thom, a diferencia de la construcción Pontryagin que otros comentarios y respuestas han abordado, creo que el enfoque original de Thom, cuyo objetivo era resolver El problema de realización de Steenrod era bastante geométrico si se piensa de la manera correcta (ver esta pregunta y esta pregunta donde la gente plantea el problema de realización de Steenrod como una pregunta de MO).
Por un lado, nuestros datos iniciales son una clase de bordismo, es decir una variedad cerrada M que se corresponde con un poliedro X, módulo de cobordismo. El problema de realización de Steenrod, por cierto, consiste en determinar qué clases de homología en X se realizan de esta manera para alguna M. Pues bien, lo que Thom hace primero es incrustar X en alguna $\mathbb{R}^n$ para n suficientemente grande, y tomar una vecindad regular N de X, que, como señala Greg, es difeomorfa al haz normal de X. Ahora se colapsa la frontera de N a un punto, y el cociente $N/\partial N$ al espacio Thom de la vecindad regular (haz normal) de la imagen de M en X. Este es un mapa hacia un espacio Thom, por lo que se puede componer con un mapa hacia el espacio Thom universal. Según entiendo, el objetivo de todo este ejercicio es aprovechar las buenas propiedades del espacio euclidiano, es decir, la existencia del espacio Thom universal. Así que haciendo un balance, comenzando con una clase de bordismo, te he dado un mapa de $N/\partial N$ al espacio universal de Thom, cuya imagen es una clase de homotopía de la dimensión adecuada. Esto es totalmente geométrico- se puede "ver" la clase como la imagen de $N/\partial N$ en el espacio universal de Thom, donde todo lo que está fuera de la imagen de M está mapeado en el punto base. Thom demostró que esto está bien definido, y que es una suryección.
Ir en sentido contrario es aún más fácil. Partiendo de una clase en el espacio universal de Thom, se realiza como un mapa g de $N/\partial N$ al espacio universal de Thom, y aplicar el isomorfismo de Thom. ¿Qué es el isomorfismo de Thom? Es la intersección del ciclo (relativo) en el espacio de Thom de $N/\partial N$ correspondiente a g con la sección cero (algebraicamente, estás multiplicando por la clase Thom), lo que te da un colector cerrado $M^\prime$ en N. Retrae N a X, y ya está, modulo transversalidad y otras cuestiones técnicas.