A, B y C son personas. Se turnan para lanzar una moneda: A lanza la primera, B la segunda, C la tercera El ganador es el que primero obtiene una cara. ¿Cuál es la probabilidad de que gane A?
¿Cuál es el procedimiento para resolver este problema?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongamos que sabemos que el jugador A ha ganado. La probabilidad de que haya ganado en su primer lanzamiento es $\frac 12$ . La probabilidad de que haya ganado en su segundo lanzamiento es $\frac 12 * \frac 12 * \frac 12 * \frac 12$ = $(\frac 12)^4$ . (Los tres primeros $\frac 12$ es la probabilidad de que A tenga cruz, luego B tenga cruz, luego C tenga cruz, de modo que A puede volver a voltear). Utilizando el mismo procedimiento, vemos que la probabilidad de que el jugador A gane en su tercera tirada es $(\frac 12)^7$ . Rápidamente vemos que hay un patrón. La probabilidad total de ganar del jugador A es: $$\frac 12,(\frac 12)^4,(\frac 12)^7,...(\frac 12)^{3n-2}$$ Se trata de una progresión geométrica con $a=\frac 12$ y $r = \frac 18$ . Eso significa que la suma $$S=\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{8}} = \frac{4}{7}$$ representa $P(A)$ la probabilidad de que el jugador A gane.
Podemos hacer lo mismo con el jugador B y el jugador C. Obsérvese que como el jugador B va en segundo lugar, debe contar con que el jugador A obtenga cruz la primera vez, lo que tiene un $\frac 12$ probabilidad, así que todo lo que tenemos que hacer es multiplicar $\frac 12$ con cada término de la serie probada anteriormente para A. Eso significa que $P(B)$ es simplemente $\frac 12$ de la suma dada para A, lo que haría $P(B) = \frac 12 * \frac 47 = \frac 27$ .
Lo mismo ocurre con el jugador C. Debe contar con que los dos primeros jugadores obtengan colas, que tienen cada uno un $\frac 12$ probabilidad, dando $P(C) = \frac 14 P(A) = \frac 14 * \frac 47 = \frac 17$ .
Al final, $P(A) = \frac 47, P(B) = \frac 27, P(C) = \frac 17$ . Sumando todas las probabilidades se obtiene $1$ .
Como Ross describe en los comentarios más abajo, sabemos que $P(B) = \frac 12 P(A),P(C) = \frac 14 P(A),P(A)+P(B)+P(C) = P(A) + \frac 12 P(A) + \frac 14 P(A)= 1$ y así sucesivamente.
