Simplificación factorial con fracciones

Question

Intento simplificar la expresión

$$\frac{\left(\frac{x+y}{2}\right)!\left(\frac{x-y}{2}\right)!}{y!}$$

Estoy familiarizado con expresiones de expansión como $$y! = (y)(y-1)(y-2)\ldots$$

pero no he encontrado esto antes, una fracción dentro de un factorial. ¿Estoy buscando algo como

$$ \left(\frac{x+y}{2}\right)! = \left(\frac{x+y}{2}\right)\left(\frac{(x-1)+(y-1)}{1}\right),$$

y aquí es donde estoy atascado. Cualquier ayuda sería genial.

Answer 1

$$\left( \frac{x+y}{2} \right)!=\left( \frac{x+y}{2} \right)\left( \frac{x+y}{2} -1 \right)\left( \frac{x+y}{2} -2 \right)\cdots 3\cdot 2\cdot 1$$

Tu expresión original es lo más simplificado que puede haber. Sólo se define si $x,y$ son ambos pares, o ambos Impares.

Answer 2

La expresión es de la forma $$\frac{a!\cdot b!}{(a-b)!},$$ proporcionado $x$ y $y$ comparten la misma paridad, por supuesto. Ahora esto se simplifica (?) a $$\binom{a}{b}\cdot b!.$$