$AB \neq 0$ pero $BA=0$

Question

¿Existe con las matrices o los objetos que $AB \neq 0$ pero $BA=0$? Otra forma de hacer esta pregunta es si existe objetos o matrices $A$ $B$ ... $[A,B]=AB$ donde $[ \, , \, ]$ es el colector $[A,B]=AB-BA.$ Si tales matrices no existen, lo que hace que implica sobre el álgebra de que los elementos están en?

Answer 1

El álgebra no conmutativa está llena de ejemplos de esto.

Por ejemplo, tome $A=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$$B=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}$.

Ha $AB\neq 0$ pero $BA=0$.

Los anillos en el que $ab=0$ implica $ba=0$ son llamados reversible de los anillos. Que es una particularmente fuerte condición, y es bastante interesante para estudiar. Recomiendo Greg Marks' de papel: Reversible y simétrica de los anillos (2002), y P. M. Cohn papel Reversible anillos (1999).

Esto implicaría que $AB=0$ no implica, necesariamente,$[A,B]=0$.

Answer 2

¿Qué acerca de $$B = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$ and $$A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Answer 3

Seguro - he aquí un ejemplo, con matrices de tomar las entradas en el campo de $\mathbb{Z}_{2}$:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}, $$

pero

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}. $$

Answer 4

Como la otra respuesta show: hay una cantidad no numerable de pares de matrices $(A,B)$ tal que $AB = 0$ mientras $BA \neq 0$. Si usted piensa de las matrices cuadradas como transformaciones lineales, entonces es obvio el por qué esto debería ser así: en la $AB$, podemos pensar en el producto como en la grabación de la imagen de cada una de las columnas de a $B$ bajo la transformación lineal $A$, asimismo, con $BA$.

Una buena pregunta es la siguiente: Dada una matriz fija $A \in \text{Mat}_n\mathbb{R},$ ¿cuál es la siguiente:

$$\widetilde{A} := \{ X \in \text{Mat}_n\mathbb{R} : AX = 0 \ \wedge \ XA \neq 0\} \, ?$$

Claramente, si $X \in \widetilde{A}$ $\lambda X \in \widetilde{A}$ todos los $\lambda \neq 0.$ Curiosamente, este espacio no es un espacio vectorial debido a que la matriz cero $0 \notin \widetilde{A}$ $X,Y \in \widetilde{A}$ no implica que $X+Y \in \widetilde{A}.$