Al estudiar las representaciones de un grupo reductor G, una técnica estándar es utilizar la inducción parabólica. La idea es que uno estudia tales grupos como una familia (o tal vez en familias más pequeñas, como por ejemplo sólo tomando (productos de) GL_n's) y luego tratando de entender las representaciones de los grupos más grandes a través de las representaciones de sus subgrupos más pequeños en la misma familia. La inducción es el functor natural para hacer esto, pero inducir directamente a partir de un subgrupo L de Levi (una clase natural de subgrupos reductores) da lugar a representaciones muy grandes -el espacio homogéneo G/L no es proyectivo y, por tanto, los haces en él tendrán muchas secciones. El remedio es utilizar la inducción parabólica: tomar el subgrupo mayor P que contiene a L como parte reductora, y extender las representaciones de L a representaciones de P dejando que el radical unipotente U de P actúe trivialmente. Entonces se induce el resultado de P a G y (dado que G/P es proyectivo) se obtiene una representación mucho más pequeña, que se puede estudiar de forma factible mediante álgebras de Hecke, etc.
Ahora bien, en todo lo anterior, me parece que tiene más sentido pensar en L no como un subgrupo de G en absoluto, sino como el cociente reductor del grupo parabólico P, es decir, como un subcociente de G solamente. Sin embargo, ahora viene mi pregunta. Uno de los teoremas que demuestran cuando se estudia la inducción parabólica (empiezo a ser descuidado con el contexto deliberadamente, pero si quieres, cuando se estudia un grupo finito de tipo Lie digamos) es que no depende de la elección de una parabólica que contenga a L. Dado que el mismo Levi puede estar en dos subgrupos parabólicos no conjugados, esto te lleva a la conclusión de que era mejor pensar en la inducción parabólica como una operación sobre representaciones de subgrupos de G después de todo.
¿Qué opina la gente de esto? "¿Por qué la inducción parabólica es independiente de la elección de la parábola? La prueba de esto en el contexto de grupos finitos de tipo Lie es la siguiente: demuestre una fórmula para la composición de una inducción parabólica seguida de una restricción parabólica (usando dos pares arbitrarios de Levi dentro de la parabólica) que exprese la composición como una suma de inducciones (parabólicas) y restricciones para grupos menores (como para la identidad normal de Mackey en grupo finito). Luego considere el espacio Hom entre dos funtores de inducción parabólica para el mismo Levi, y observe que la reciprocidad de Frobenius le permite escribir esto en términos de la identidad de Mackey que tiene, y luego la inducción sobre el rango le remata.
Este argumento no me parece muy esclarecedor (aunque eso puede ser porque no lo entiendo realmente), y conozco otra prueba geométrica hábil en el contexto de gavillas de caracteres en un álgebra de Lie, de la que no estoy seguro de entender el contenido teórico de la representación. El resultado tampoco es sólo una curiosidad -- la estrategia de Harish-Chandra de clasificar las representaciones de G a través de datos cuspidales quiere asociar a una representación irreducible de G un único "dato cuspidal" $(L,\rho)$ que consiste en un subgrupo de Levi L y una representación cuspidal de L (hasta la conjugación en G), y esto no tiene sentido sin la independencia de la parábola.
Tampoco recuerdo la situación para los grupos p-ádicos: el argumento de la "fórmula de Mackey" que esbocé debería mostrar que los funtores de inducción parabólica que se obtienen no dependen de la parabólica al menos en el nivel del grupo K (que sería todo lo que se necesita para hacer funcionar una teoría cuspídea) pero los funtores en sí mismos quizás no son isomorfos (porque la identidad se convierte en una especie de filtración sobre la composición de la inducción y las restricciones, que probablemente ya lo es realmente en el tipo de grupos finitos, así que quizás lo mismo ocurre ya para los grupos finitos de tipo Lie cuando se estudian las representaciones modulares?
