Para un ejercicio, tenemos que demostrar que la topología del producto es la topología más fina tal que para cualquier mapa continuo $f : X \to \prod_{\alpha \in J} X_{\alpha}$ las funciones de coordenadas $f_{\alpha} := \pi_{\alpha} f$ también son continuos.
Argumento de por qué esto es cierto en la topología del producto: empezar con un $U_{\alpha} \subset X_{\alpha}$ entonces $\pi_{\alpha}^{-1}(U_{\alpha})$ es el producto de $U_{\alpha}$ con $\prod_{\beta \in J \setminus {\alpha}} X_{\beta}$ que está abierto, y por lo tanto $f^{-1}(\pi_{\alpha}^{-1}(U_{\alpha}))$ es abierto también por continuidad de $f$ .
No veo por qué esto falla en la topología de caja, que es una topología más fina que la topología de producto (a menos que casi todos los $X_{\alpha}$ s tienen la topología trivial). El argumento parece que se mantendría ya que la preimagen de $\pi_{\alpha}$ en un conjunto abierto $U_{\alpha}$ sigue abierta en la topología de caja. De hecho, mi intuición diría que la topología del producto es en realidad la topología más gruesa que hace que esto sea cierto: cualquier topología más fina contiene la topología del producto, por lo que el argumento se mantendrá.
