Encuentra números de cuatro dígitos en los que las dos primeras cifras elevadas al cuadrado más las dos últimas cifras elevadas al cuadrado den como resultado el mismo número.

Question

Si un número de cuatro dígitos $\overline{abcd} $ satisface $\overline{abcd}=(\overline{ab})^2+(\overline{cd})^2$ donde $a \neq 0.$ Encuentra ese número.

Creo que lo he resuelto (1233 y 8833). La forma en que lo hice fue una especie de prueba y error. Tenemos $ d \equiv b^2+d^2$ (mod 10). A continuación, enumeré todas las combinaciones posibles de $b$ y $d$ , y luego sólo tratar y error en el valor $a$ que también conduce a los valores de $c$ . Pero no creo que sea un método inteligente/sistemático.

Answer 1

Cito el documento de Alf van der Poorten. Beginquote:

Lemma 1.1. La identidad $a^2+b^2=10^ua+b$ es equivalente a la representación $10^{2u}+1=(10^u-2a)^2+(2b-1)^2$ .

Por lo tanto, basta con buscar representaciones de $10^{2u}+1$ como una suma $x^2+y^2$ con $x=10^u-2a$ incluso, y $y=2b-1$ impar.

$$10^4+1=73\times137=(8^2+3^2)(4^2+11^2)=(8\times11-3\times4)^2+(8\times4+3\times11)^2=76^2+65^2$$

Es decir $a=12$ y $b=33$ . Cita final.

Vigila tus señales - y a veces ambas señales

La solución citada no tiene en cuenta que $(10^2-2a)^2=76^2$ y $(2b-1)^2=65^2$ no implican respectivamente $10^2-2a=+76, 2b-1=+65$ . Los lados derechos podrían ser igualmente las raíces negativas. Para la $b$ la raíz negativa puede ser ignorada porque $2b-1=-65$ da $b<0$ . Pero obtenemos una segunda solución positiva para $a$ mediante la representación $-76$ como raíz en la ecuación de $a$ :

$$10^2-2a=-76$$ $$a=88$$

$$b=33$$ $$\text{ from above, with the } 65 \text{ root still positive}$$

Por lo tanto, $a=88,b=33$ es una segunda solución.

Answer 2

Dejemos que $x$ representan los dos primeros dígitos y $y$ representan los dos segundos dígitos. Así,

$100x+y=x^2+y^2$

$x(100-x)=y(y-1)$

El lado derecho está parejo. Módulo $5$ el lado izquierdo es $\in\{0,1,2\}$ y el lado derecho es $\in\{0,1,4\}$ . Así, ambas partes terminan con $0$ o $6$ . Además, el lado izquierdo debe ser $\in\{0,1\}\bmod3$ y el lado derecho $\in\{0,2\}\bmod3$ por lo que ambos lados son múltiplos de $3$ .

Así que necesitamos $x$ sea un múltiplo de $3$ o uno más que tal, $x(100-x)$ para terminar en $0$ o $6$ (forzando $x$ para terminar en uno de los dígitos $0,2,8$ ), y $4[x(100-x)]+1=(2y-1)^2$ para ser un cuadrado perfecto. Nos propusimos probar los valores elegibles de dos dígitos de $x$ de $10$ hasta $50$ (nueve ensayos), sabiendo que cualquier solución para $x$ en este rango irá acompañada de una solución $100-x$ por simetría del producto $x(100-x)$ en el lado izquierdo. Los bloques son casos en los que no conseguimos el cuadrado perfecto necesario para $4[x(100-x)]+1=(2y-1)^2$ :

$x=10, x(100-x)=900, 4×900+1=3601$

$x=12, x(100-x)=1056, 4×1056+1=4225=65^2$

$x=18, x(100-x)=1476, 4×1476+1=5905$

$x=22, x(100-x)=1716, 4×1716+1=6865$

$x=28, x(100-x)=2016, 4×2016+1=8065$

$x=30, x(100-x)=2100, 4×2100+1=8401$

$x=40, x(100-x)=2400, 4×2400+1=9601$

$x=42, x(100-x)=2436, 4×2436+1=9745$

$x=48, x(100-x)=2496, 4×2496+1=9985$

Así que sólo $x=12$ trabaja entre los números de abajo $50$ de la que $100-x=88$ también funcionará entre los números superiores a $50$ y para este par de soluciones vemos $2y-1=65, y=33$ . Por lo tanto,

$1233=12^2+33^2$

$8833=88^2+33^2$