Gran $O$ notación sobre las series de Taylor

Question

Del teorema de Taylor, $\ln(1+x) = \frac{1}{1+\xi}\cdot x$ , donde $\xi$ está entre $0$ y $x$ .

Entonces $\ln(1+\frac{1}{x})$ = $\frac{1}{1+\xi}\cdot\frac{1}{x}$ .

Así que, $\ln(1+\frac{1}{x})$ = $O$ ( $\frac{1}{x}$ ).

¿Esto es correcto? Y en la línea 2, ¿es $\xi$ ¿permanece sin cambios?

No está relacionado: También me encontré con esta solución en línea, http://imgur.com/a/POAYD . me parece extraño el uso del límite.

Answer 1

No. No puedes hacer esto porque $\xi$ es una función de $x$ . Además, al utilizar la notación Big-O debemos hablar de asintótica alrededor de un punto (posiblemente $\infty$ ) y ese no es el caso aquí. Decimos que $f(x) \in O(g(x)) $ (también escrito como $f(x) =O(g(x)) $ ) cuando $\displaystyle\limsup_{x\to a} \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| < \infty$ .

Por otro lado, alrededor del origen tenemos que $\log(1+x) = x + O(x^2)$ que puede escribirse claramente como $\log(1+x) = O(x)$ . Sea $x \to \frac{1}{x}$ y obtenemos su resultado, al menos para todos $|x| < 1$

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Además, hay que tener en cuenta que las dos instancias de $\xi$ no son lo mismo. En el primer caso tenemos $$\log(1+x) = \frac{x}{1+\xi} \implies \xi = \frac{x}{\log(1+x)}-1$$ Y en el segundo caso tenemos $$\log(1+1/x) = \frac{1/x}{1+\xi}\implies \xi=\frac{1}{x\log(1+1/x)}-1$$