Dos tipos de orientabilidad/orientación para una variedad diferenciable

Question

Dejemos que $M$ sea una variedad diferenciable de dimensión $n$ . Primero doy dos definiciones de orientabilidad.

La primera definición debería coincidir con lo que se da en la mayoría de los libros de texto de topología diferencial, por ejemplo el libro de Warner.

Orientabilidad mediante formas diferenciales: Existe una forma diferencial que no desaparece en ninguna parte $\omega$ de grado $n$ en $M$ .

El segundo es de Greenberg y Harper, "Algebraic Topology". Este es el enfoque de la "clase fundamental". Sea $x$ sea un punto en $X$ y que $R$ sea un anillo conmutativo y en lo que sigue las homologías son con coeficientes en $R$ .

Orientabilidad local: Un local $R$ orientación de $X$ en $x$ es la elección de un generador del $R$ -Módulo $H_n(X, X-x)$ .

Por una simple aplicación de la escisión, se ve que el módulo de homología anterior es efectivamente isomorfo a $R$ . También podemos organizar una vecindad alrededor de cada punto de manera que esta orientación local pueda ser "continuada a una vecindad" y sea "coherente". Perdóname por ser impreciso aquí; los lemas detallados están en la referencia dada anteriormente. Con estos antecedentes en mente, definimos:

Una globalidad $R$ -orientación de $X$ consiste en: 1. Una familia $U_i$ de conjuntos abiertos que cubren de $X$ 2. Para cada $i$ , una orientación local $\alpha_i \in H_n(X, X -U_i)$ de a lo largo de $X$ , de manera que se cumpla una "condición de compatibilidad".

También en este caso soy impreciso en cuanto a la condición de compatibilidad; por favor, comprueben en la referencia citada anteriormente los detalles. Me refiero a esto básicamente como una pregunta para aquellos que ya conocen ambas definiciones, ya que escribir completamente la segunda definición tomaría 2-3 páginas con todos los lemas necesarios.

También definimos la "orientación" como una elección global.

Ahora la pregunta:

¿Cómo coinciden las dos definiciones, la primera con formas diferenciales y la segunda con homología?

Por supuesto, para que coincida tenemos que tomar $\mathbb{Z}$ para ser el anillo base de la homología. Una cuestión relacionada es el significado de la orientabilidad y la orientación cuando tomamos un anillo base distinto de $\mathbb{Z}$ . Es agradable cuando el anillo base es $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ Toda colector es orientable. Pero, ¿qué significa tener $4$ orientaciones posibles para el círculo o la línea real, por ejemplo, cuando se toma como base el anillo $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ ?

También pregunto, ¿hay alguna forma adicional de definir la orientabilidad/orientación para una variedad diferenciable (no sólo para un espacio vectorial)?

Answer 1

Si $X$ es una variedad diferenciable, de modo que ambas nociones están definidas, entonces coinciden.

El ``Parcheando'' de orientaciones locales que usted describe puede expresarse más formalmente como sigue: hay una gavilla localmente constante $\omega_R$ de $R$ -módulos en $X$ cuyo tallo en un punto es $H^n(X,X\setminus\{x\}; R).$ Por supuesto, $\omega_R = R\otimes_{\mathbb Z} \omega_{\mathbb Z}$ .

Esta gavilla se llama gavilla de orientación, y aparece en la formulación de la dualidad de Poincare para las variedades no necesariamente orientables. No se da el caso de que cualquier de esta gavilla da una orientación. (Por ejemplo, siempre tenemos la sección cero). Creo que la definición habitual sería algo así como una sección que genera cada tallo.

Ahora trabajaré sólo con $\mathbb Z$ coeficientes, y escribir $\omega = \omega_{\mathbb Z}$ .

Como los tallos de $\omega$ son libres de rango uno sobre $\mathbb Z$ Para unirlos, usted terminan dando un 1-coclo con valores en $GL_1({\mathbb Z}) = \{\pm 1\}.$ Por lo tanto, subyace $\omega$ hay un haz más elemental, un haz localmente constante que es un haz principal para $\{\pm 1\}$ . Equivalentemente, tal cosa es sólo un espacio de cobertura de grado dos (no necesariamente conectado) de $X$ y es precisamente la doble cubierta de orientación de $X$ .

Ahora dando una sección de $\omega$ que genera cada tallo, es decir, que da una orientación de $X$ es precisamente lo mismo que dar una sección de la cubierta doble de la orientación (y así $X$ es orientable, es decir, admite una orientación, precisamente cuando la doble cobertura de la orientación está desconectada).

En lugar de cortar desde una gavilla de rango 1 localmente constante sobre $\mathbb Z$ a sólo una cubierta doble, también podríamos construir para obtener algunas gavillas más grandes.

Por ejemplo, está la gavilla $\mathcal{C}_X^{\infty}$ de funciones suaves sobre $X$ . Podemos formar el producto tensorial $\mathcal{C}_X^{\infty} \otimes_{\mathbb Z} \omega,$ para obtener una gavilla localmente libre de rango uno sobre ${\mathcal C}^{\infty}$ o, de forma equivalente, el haz de secciones de un haz de líneas sobre $X$ . Se trata precisamente del haz de líneas de las formas de dimensión superior en $X$ .

Si damos una sección de $\omega$ dando lugar a una orientación de $X$ Llámalo $\sigma$ entonces ciertamente obtenemos una sección de ninguna parte-cero de $\mathcal{C}_X^{\infty} \otimes_{\mathbb Z} \omega$ , a saber $1\otimes\sigma$ .

Por otro lado, si tenemos una sección cero en ninguna parte de $\mathcal{C}_X^{\infty} \otimes_{\mathbb Z} \omega$ entonces localmente (digamos en los miembros de alguna cubierta $\{U_i\}$ de $X$ por bolas abiertas) tiene la forma $f_i\otimes\sigma_i,$ donde $f_i$ es una función de valor real en ninguna parte cero sobre $U_i$ y $\sigma_i$ es un generador de $\omega_{| U_i}.$

Desde $f_i$ no es cero en ninguna parte, es siempre positivo o siempre negativo; escriba $\epsilon_i$ para denotar su signo. Entonces es fácil ver que las secciones $\epsilon_i\sigma_i$ de $\omega$ pegar para dar una sección $\sigma$ de $X$ que proporciona una orientación.

También se ve que dos formas de volumen diferentes que no son cero en ninguna parte darán lugar a la misma orientación si y sólo si su razón es una función positiva en todas partes.

Esto reconcilia las dos nociones.

Answer 2

Su pregunta principal fue respondida por Emerton. En cuanto a otras nociones de orientabilidad, hay muchas. Una de las más populares es el enfoque teórico de la obstrucción:

1) Un colector $M$ es orientable si el haz tangente $TM$ admite una trivialización cuando se restringe a un $1$ -esqueleto de una descomposición CW de $M$ . Una orientación de $M$ se toma como una (clase de homotopía) trivialización de $TM_{|M^0}$ que se extiende sobre $M^1$ .

2) [Corregido para tener en cuenta el comentario de Chris] Se puede replantear la definición 1 de forma que se evite el esqueleto. Una forma popular es definir el haz ortogonal (principal) asociado a $TM$ Llamémoslo $O(TM)$ . Este es el paquete sobre $M$ cuyas fibras sobre puntos $p \in M$ son los isomorfismos lineales entre $\mathbb R^m$ y $T_pM$ . Entonces $M$ es orientable si cada bucle $S^1 \to M$ eleva a un bucle $S^1 \to O(TM)$ .

3) Hay una pequeña variante de estas ideas llamada "cobertura de orientación", se trata de un espacio de cobertura de 2 hojas de $M$ y está conectada si y sólo si $M$ es no orientable. Esto tiene la suposición adicional de que $M$ está conectado.

4) Otra variante de esto proviene de la maquinaria del espacio de clasificación de paquetes. Todo haz vectorial tiene un mapa clasificador $M \to B(GL_m)$ y $GL_m$ tiene un subgrupo de matrices de determinación positiva, llámalo $GL^+_m$ . $M$ es orientable si y sólo si el mapa clasificador $M \to BGL_m$ elevaciones a un mapa $M \to BGL^+_m$ y una orientación es una clase homotópica de tales ascensos (lo suficientemente flexible como para permitir la homotopía del mapa clasificador original).

En fin, esos son algunos. Por supuesto, hay más, ya que todas estas ideas admiten perturbaciones en varias direcciones. Por ejemplo, otra pequeña variante sería que la 1ª clase de Stiefel-Whitney es trivial. Una de las ventajas de las aproximaciones (1), (2), (4) es que cualquiera de ellas es una entrada natural a otras nociones de orientación, como $spin$ o $spin^c$ estructuras.

Answer 3

También pregunto, ¿hay alguna forma adicional de definir la orientabilidad/orientación para una variedad diferenciable (no sólo para un espacio vectorial)?

Otra noción de orientabilidad es la existencia de un atlas cuyas funciones de transición tienen derivadas con determinante positivo en todas partes. Esto proporciona una forma clara, junto con las ecuaciones de Cauchy-Riemann, de demostrar que toda colector complejo (digamos, para simplificar, una superficie de Riemann) es orientable.

Answer 4

Personalmente, no me sentí muy cómodo con la noción de orientación hasta que entendí la noción para los paquetes de vectores, así que te hablaré de eso.

Dado un haz de vectores $\pi: E \to B$ Primero, seleccione una orientación para cada fibra $\pi^{-1}(b)$ . El fardo se orientará es que has hecho estas elecciones de forma coherente y las dos siguientes son nociones equivalentes de "coherente".

1) Para cada punto $b$ en $B$ tiene un barrio $N$ de manera que haya secciones $s_1, \ldots, s_r: N \to E$ tal que para todo $n \in N$ : { $s_1(n), \ldots, s_r(n)$ } es una base orientada para la fibra $\pi^{-1}(n)$ .

2) Cada punto $b$ en $B$ se encuentra en un gráfico de paquetes vectoriales $\phi:N \times \mathbb{R}^r \to \pi^{-1}(N)$ tal que $\phi(n,\cdot): n \times \mathbb{R}^r \to \pi^{-1}(n)$ es la conservación de la orientación.

Olvidándonos de elegir una orientación para cada fibra de antemano, ser orientable también equivale a:

3) Puedes cubrir $B$ con gráficos de paquetes vectoriales $\phi:N \times \mathbb{R}^r \to \pi^{-1}(N)$ de tal manera que para cualesquiera dos $\phi$ y $\psi$ el isomorfismo lineal $n \times \mathbb{R}^r \stackrel{\phi(n,\cdot)}{\to} \pi^{-1}(n) \stackrel{\psi(n,\cdot)^{-1}}{\to} n \times \mathbb{R}^r$ es la conservación de la orientación.

4) Existe una sección no nula del haz de líneas $\wedge^rE \to B$ .

Ahora un colector $M$ ser orientable es equivalente a que su haz tangente sea orientable. Dado lo que se ha dicho, la manera más rápida de ver esto es notar que una forma n no nula en $M$ es por definición una sección no nula del haz $\wedge^n (T^\*M)$ . (Nota: $T^\*M$ es orientable si $TM$ es orientable ya que son isomorfos como haces eligiendo una métrica de Riemann).

El ejemplo canónico de un haz no orientable es el haz de Mobius, que es el haz de líneas sobre el círculo cuyo espacio total parece una banda de Mobius. En términos de 1), este haz no es orientable, ya que si eliges una sección (vector) distinta de cero en un punto e intentas extenderlo a todo el círculo, para cuando vuelvas al punto de partida tu vector estará apuntando hacia el otro lado.