¿Estaba Bourbaki comprometido con el reduccionismo teórico de conjuntos?

Question

Un reduccionista de la teoría de conjuntos sostiene que los conjuntos son los únicos objetos abstractos, y que (por ejemplo) los números son idénticos a los conjuntos. (¿Qué conjuntos? Un reduccionista es un relativista si es (por ejemplo) indiferente entre los ordinales de von Neumann, Zermelo, etc., un absolutista si argumenta a favor de una reducción privilegiada, como la identificación de los números cardinales con las clases de equivalencia bajo equipotencia). Puntos de vista opuestos: el platonismo clásico, que sostiene que (por ejemplo) los números existen independientemente de los conjuntos; y el nominalismo, que sostiene que no hay particulares abstractos.

Me interesa la relación entre el "estructuralismo" tal y como lo entienden los filósofos de la ciencia y las matemáticas y la metodología estructuralista en matemáticas por la que Bourbaki es bien conocido. Un pequeño punto en el que estoy atascado es el lugar de la teoría de conjuntos en el estructuralismo de Bourbaki. Estoy sopesando dos lecturas.

• (1) el convencionalismo: Bourbaki utilizó la teoría de conjuntos como un cómodo "fundamento", un escenario en el que se pueden construir libremente modelos de estructuras, pero la "estructura", tal como se entiende en capítulos posteriores, no depende esencialmente de la teoría formal de la estructura desarrollada en la Teoría de Conjuntos,
• (2) Reduccionismo: los conjuntos proporcionan una ontología básica para las matemáticas; los matemáticos estudian las estructuras en el ámbito de los conjuntos.

A favor del convencionalismo:

• (a) Los argumentos de Leo Corry en "Nicolas Bourbaki y el concepto de estructura matemática" de que las estructuras formales de la Teoría de Conjuntos deben distinguirse de la investigación posterior de la estructura matemática y desempeñan sólo un papel marginal,
• (b) pares ordenados: las definiciones que reducen los pares a conjuntos como la de Kuratowski traen "equipaje" (es decir, estructura extra) y Bourbaki utilizó pares ordenados primitivos en la primera edición de la Teoría de Conjuntos, sin mostrar ninguna preocupación excesiva por la reducción completa,
• (c) las declaraciones de Dieudonné al Instituto Rumano que indican que los capítulos 1 y 2 son principalmente para satisfacer a los filósofos molestos (como yo, supongo) antes de pasar a temas de mayor interés,
• (d) la discusión de la axiomática y la estructura en "La arquitectura de las matemáticas", sin hacer especial hincapié en los conjuntos,
• (e) esta interpretación sirve a mi agenda filosófica egoísta.

A favor del reduccionismo:

• (a) la ordenación lineal de los textos sugiere una dependencia lógica percibida de la Teoría de Conjuntos,
• (b) el reduccionismo da sentido a la unidad de las matemáticas,
• (c) La edición de 1970 incluye las parejas de Kuratowski,
• (d) da sentido a las controversias sobre la teoría de las categorías,
• (e) da sentido a algunas críticas externas (por ejemplo, la de Mac Lane en "Mathematical Models" de que Bourbaki era dogmático y asfixiante),
• (f) Temo que al inclinarme por el convencionalismo me esté autoengañando para servir a mi agenda filosófica egoísta.

Disculpas: no estoy seguro de que esto sea MO apropiado, cualquier respuesta puede ser anacrónica, probablemente no hay univocalidad de opinión entre los miembros de Bourbaki, mis puntos de vista se basan en exposiciones populares, entrevistas y literatura secundaria y no en un estudio cercano de los textos primarios.

El debate sobre esta cuestión se ha producido recientemente en Café de categoría n , con motivo de la reciente afirmación de Manin de que Bourbaki aportó "fundamentos pragmáticos". La interpretación convencionalista, creo, ayuda a dar sentido a la afirmación de Manin y mostraría que algunas críticas hechas al bourbakismo malinterpretan su intención (si no su impacto). Tengo el libro de Borel "Twenty-Five Years With Bourbaki", que trata de Grothendieck y de la controversia sobre la dirección que siguió a los seis primeros libros. Corry afirma que el enfoque de la Teoría de Conjuntos tenía limitaciones al tratar la teoría de categorías. Apreciaría especialmente las referencias o respuestas que me ayuden a entender mejor estas cuestiones en particular, que sean accesibles para un filósofo con algunos cursos de posgrado en matemáticas y con sólo una comprensión rudimentaria autodidacta de las categorías.

Answer 1

En primer lugar, a la mayoría de los matemáticos no les importa realmente si todos los conjuntos son "puros", es decir, si sólo contienen conjuntos como elementos, o no. La justificación teórica de esto es que, asumiendo el axioma de elección, todo conjunto puede ponerse en biyección con un conjunto puro, es decir, un ordinal de von Neumann.

Yo describiría el enfoque de Bourbaki como "estructuralista", es decir, que toda la estructura se basa en conjuntos (yo no tomaría esto como una posición filosófica; es la forma más familiar y posiblemente la más sencilla de establecer las cosas), pero nunca es fructífero indagar sobre qué tipo de objetos contienen los conjuntos. Considero que éste es quizá el punto clave de la matemática "abstracta" en el sentido en que se ha utilizado el término durante el último siglo, más o menos. Por ejemplo, un grupo abstracto es un conjunto con una relación binaria: parte de lo que significa "abstracto" es que no sirve preguntar si los elementos del grupo son números, o conjuntos, o personas, o qué.

Digo esto sin haber leído nunca los volúmenes de Bourbaki sobre la Teoría de Conjuntos, ¡y afirmo que esto refuerza de algún modo mi posición!

En concreto, Bourbaki es implacablemente lineal en su exposición, a lo largo de miles de páginas: si quieres leer sobre la terminación de un anillo local (en Álgebra Conmutativa), es mejor que sepas sobre los filtros de Cauchy en un espacio uniforme (en Topología General). En algunas partes me parece que Bourbaki hace demasiado hincapié en las dependencias lógicas y, por tanto, toma extrañas decisiones expositivas: por ejemplo, no quieren hablar de espacios métricos hasta que hayan "definido rigurosamente" los números reales, y no quieren hacerlo hasta que tengan la teoría de la terminación de un espacio uniforme. Esto es excesivamente fastidioso: ciertamente en 1900 la gente conocía cualquier número de maneras de construir rigurosamente los números reales que no requerían 300 páginas de preliminares.

Sin embargo, nunca en mi lectura de Bourbaki (he hojeado unos cinco de sus libros) me he visto obstaculizado por una referencia a alguna construcción teórica de conjuntos anterior. También me enteré tarde de que las "estructuras" de las que hablan obtienen realmente una definición formal en algún lugar de los primeros volúmenes: de nuevo, no lo sabía porque los "mapas que preservan la estructura" de los que hablaban siempre estaban claros por el contexto.

Algunos han argumentado que las verdaderas inclinaciones de Bourbaki estaban más cerca de una visión protocategórica de las cosas. (Hay que recordar que Bourbaki empezó en los años 30, antes de que existiera la teoría de las categorías, y su tratamiento de las matemáticas es conscientemente "conservador": no es su intención introducirle en las últimas modas). En particular, aparentemente entre los muchos libros inacabados de Bourbaki que yacen en la estantería de algún lugar de París hay uno sobre la Teoría de Categorías, escrito en su mayor parte por Grothendieck. La falta de mención explícita de los conceptos categóricos más simples es una de las cosas que hace que su trabajo parezca anticuado a ojos modernos.

Answer 2

Adrian Mathias ha escrito una serie de excelentes ensayos en los que critica diversos aspectos de los fundamentos lógicos de Bourbaki, y le animo a que siga el enlace y los lea. Escribe extraordinariamente bien, y algunos de estos ensayos son sencillamente alborotados, cuando expone aspectos particularmente ridículos de los sistemas de Bourbaki, como el último punto que aparece a continuación.

Probablemente la principal referencia que deberías mirar es:

• Adrian Mathias, La ignorancia de Bourbaki (un comentario sobre la postura fundacional del grupo Bourbaki. En: Mathematical Intelligencer 14 (1992) 4--13 MR 94a:03004b, y también en Physis Riv. Internaz. Storia Sci (N.S.) 28 (1991) 887--904, MR 94a:03004a. Una traducción de Andras Racz al húngaro está disponible, bajo el título Bourbaki tevutjai, en A Termeszet Vilaga, 1998, III. kulonszama).

En este ensayo, se muestra muy crítico con la postura de Bourbaki sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos, y parece considerar que tiene lugar en un extraño vacío histórico. Aunque discuten varias contribuciones históricas a la teoría de conjuntos, no mencionan a Goedel y sus contribuciones sobresalientes. Su sistema de teoría de conjuntos, que consiste esencialmente en los axiomas de Zermelo con elección, es extrañamente débil, insuficiente para muchas construcciones matemáticas. (Por ejemplo, en ZC, no se puede demostrar que el ordinal ω+ω existe, o que hay conjuntos de cardinalidad Aleph _ω .)

Mathias tiene varios artículos de seguimiento en su página web, continuando la discusión de este tema, y sus ensayos forman ahora un diálogo con varios escritores que defienden a Bourbaki. Por ejemplo, tiene interesantes artículos en los que se compromete con Mac Lane y con la teoría de conjuntos de éste, que comparte similitudes con la de Bourbaki.

Por último, está su encantador ensayo en el que ridiculiza el sistema formal de Bourbaki, a la vez que ofrece un exhaustivo análisis lógico del mismo

• Adrian Mathias, Un plazo de duración 4.523.659.424.929 , Synthese 133 (2002) 75--86.

Lo describe así:

Un cálculo del número de símbolos necesarios para dar la definición de Bourbaki del número 1; al que hay que añadir 1.179.618.517.981 enlaces desambiguadores. Se discuten las implicaciones para las afirmaciones filosóficas de Bourbaki y la salud mental de sus lectores.

(También mencioné estos ensayos en esta pregunta relacionada .)

Answer 3

Estoy muy disgustado porque escribí una respuesta completa a tu pregunta y la perdí porque se me cayó la conexión y nunca quedó registrada =(.

De acuerdo, el estructuralismo de Bourbaki es, efectivamente, utilizar categorías, pero sólo restringiéndose a categorías concretas. Hay que recordar que al principio de la redacción, la teoría de las categorías aún no se había descubierto, y cuando se publicaron los dos primeros capítulos, el trabajo de Grothendieck y Lawvere ni siquiera había empezado a descubrir la teoría de los topos. En términos de matemáticas formales, las teorías de conjuntos eran el único juego en la ciudad para la exposición formal (y siguen siendo en gran medida el modelo predominante). Es decir, sin construir primero una teoría de la metamatemática (capítulo 1, sección 1), la lógica (capítulo 1), un cálculo de pruebas (capítulo 1) y la teoría de conjuntos (capítulo 2), no se podía ser completamente formal.

El operador de elección global de Bourbaki $\tau$ permite encontrar un objeto distinguido que satisface una proposición, a menos que ningún objeto la satisfaga, en cuyo caso devuelve cualquier objeto (esto es por el esquema axiomático S7 de Bourbaki, también llamado esquema axiomático de la extensionalidad épsilon por Hilbert y su escuela). Esto nos permite efectivamente hablar de objetos que son idénticos en términos de alguna estructura, sin preocuparnos del conjunto subyacente.

En cuanto al reduccionismo de Bourbaki en la última versión del libro (he leído la versión más antigua, de hecho [ésta es la fuente de la traducción al inglés]), puedo decir, habiendo leído la versión más antigua del libro, que la definición más nueva de un par ordenado es mucho más fácil de usar para definir la primera y la segunda proyecciones, lo cual es un ejercicio de tautología dolorosa en la primera edición (acabo de encontrar y leer la sección en una copia de la segunda edición francesa, y la discusión es más fácil de entender aunque no hablo francés). Sin embargo, incluso en ese libro, la estructura kuratowski se utiliza una vez y luego se desecha, para no volver a verla. Yo diría que el cambio entre las ediciones fue simplemente para facilitar la lectura de la página. Esta es la razón: El axioma del par ordenado era redundante, ya que el par ordenado existe de forma demostrable. Tal vez se podría haber definido el par ordenado (x,y) como cualquier objeto que satisface el axioma del par ordenado (axioma 3 en Bourbaki Theorie des Ensembles 1. ed.), pero esto es realmente un punto sin importancia, y si has leído el libro antes, no se pierde tiempo en detalles sin importancia.

Mi conclusión sobre su reduccionismo en este caso es que fue por simplicidad de exposición y parsimonia, porque, como he dicho más arriba, ¿por qué habría de tomarse como axioma lo que se puede demostrar?

[He editado el siguiente párrafo para mantener un tono positivo y dejar claro que ciertos pronunciamientos son opiniones y no hechos. -- Pete L. Clark]

[Lo he editado un poco más porque no me gustaba el estilo, pero el párrafo de abajo es mi opinión -- Harry Gindi]

Además, me parece que la crítica de Mac Lane es un poco fuerte. Bourbaki es una referencia estándar sobre álgebra abstracta elemental y topología general (si uno quiere encontrar la versión más general de un teorema conocido hasta la fecha en uno de esos temas, un buen lugar para empezar es Algebre o Topologie General de Bourbaki). Uno de los mejores lugares para aprender sobre los espacios uniformes (que han aparecido en MO un sorprendente número de veces en los últimos meses) es en Bourbaki. Las pruebas de Bourbaki son también increíblemente claras y realmente maravillosas de leer (una vez que se tiene la madurez matemática para hacerlo). De nuevo, Bourbaki on Topological Vector Spaces es una referencia estándar sobre espacios vectoriales topológicos. Su libro sobre la teoría de la integración puede incluir sólo las medidas de Radon, pero su sección sobre la medida de Haar es una referencia estándar sobre el tema. Su libro sobre álgebra conmutativa es uno de los libros más profundos sobre álgebra conmutativa que existen actualmente (rivalizado, diría, sólo por Matsumura [no tan antiguo] y Zariski-Samuel [que es realmente antiguo]), y no te olvides de la obra maestra que es Lie Groups and Lie Algebras, que es el único libro de Bourbaki que he visto asignado como texto de clase en lugar de como referencia. Cualquiera que haya leído SGA verá que Bourbaki en realidad escribió varias secciones (no está muy claro quién participó, pero la cita es para Bourbaki). Mac Lane ha hecho grandes contribuciones al mundo de las matemáticas, pero discrepo respetuosamente de su valoración de Bourbaki. Bourbaki marcó un hito en el estilo de la exposición matemática, con su énfasis en el formalismo, el rigor y la claridad, en cierto modo, haciendo caso omiso de las palabras de Goedel, y llevando el programa de formalismo de Hilbert lo más lejos posible.

Answer 4

Las dificultades para formalizar el razonamiento categórico en la teoría de conjuntos son, en realidad, bastante sencillas de entender: se trata simplemente de una molesta incompatibilidad en el uso práctico de la noción de tamaño en la teoría de categorías frente a la teoría de conjuntos. En la teoría de categorías, es común hablar de categorías como la categoría de grupos, y categorías de funtores en esta categoría, y así sucesivamente. Y por razones parecidas a la paradoja de Russell, necesitamos distinguir entre categorías pequeñas y grandes.

En la teoría de conjuntos, esto corresponde a la distinción entre conjuntos y clases propias. Pero cuando interpretamos las categorías en conjuntos, no queremos identificar lo pequeño y lo grande con el conjunto y la clase, sino que queremos que sea una distinción relativa, de modo que al formar nuevas categorías podamos "cambiar de opinión" sobre lo que es pequeño y lo que es grande. De lo contrario, no podemos realizar muchas construcciones categóricas naturales, como la formación de categorías de funtores, en cuanto la fuente y el objetivo son grandes. (La razón es que no podemos tomar exponenciales/potencias de clases propias).

Grothendieck manejó esto introduciendo universos, que son una familia anidada de conjuntos cerrados bajo todas las operaciones de formación de conjuntos de ZFC. (Postular su existencia corresponde a un axioma cardinal grande.) Así que ahora, estamos "realmente" trabajando de forma ambigua en algún nivel de la jerarquía de los universos, y cuando necesitamos formar una categoría functora entre categorías grandes, movemos nuestro punto de vista hacia arriba un nivel de universo, de forma que las dos categorías particulares de las que queremos construir una categoría functora, son pequeñas de nuevo. De este modo, las clases propias nunca se utilizan para interpretar categorías, y así todas las operaciones de formación de conjuntos están siempre disponibles.

Si esto es esencial o no es una cuestión de furioso debate (aunque me dicen que los universos de Grothendieck son un axioma cardinal relativamente suave).

Answer 5

Geoffrey Hellman ha escrito algo sobre el estructuralismo que compara el estructuralismo de Bourbaki con el estructuralismo de la teoría de las categorías. Aquí . Su opinión parece ser que estaban siendo reduccionistas.