Encuentre la suma de todos los valores de $\cos(p\alpha+q\beta)$ donde p y q son enteros positivos tales que $p+q=n$ utilizando la identidad

Question

Encuentre la suma de todos los valores de $\cos(p\alpha+q\beta)$ donde p y q son enteros positivos tales que $p+q=n$ utilizando la identidad

$\frac{x^{n+1}-y^{n+1}}{x-y}= x^n+x^{n-1}y+x^{n-2}y^{2}+\dots+y^{n}$

No veo cómo proceder con la información dada. Es muy confuso por mi parte entender la pregunta.

Gracias de antemano.

Actualización: incluso después de conseguir todas las pistas. No soy capaz de proceder a obtener la expresión deseada. Por favor, comparta algo más.

Answer 1

Una pista: $$ \cos (p\alpha + q \beta) = \mbox{Re}\big((e^{i\alpha})^p \cdot (e^{i\beta})^q \big) $$ donde $q=n-p$

Explicación \begin{align*} \sum \limits_{p+q=n}\cos (p\alpha + q \beta) &= \sum \limits_{p+q=n} \mbox{Re}\big((e^{i\alpha})^p \cdot (e^{i\beta})^q \big)\\ \sum \limits_{p=1}^{n-1}\cos (p\alpha + (n-p) \beta) &= \mbox{Re} \Big ( \sum \limits_{p=1}^{n-1} (e^{i\alpha})^p \cdot (e^{i\beta})^{n-p} \Big)\quad \mbox{(define $x=e^{i\alpha}$ and $y=e^{i\beta}$)}\\ &= \mbox{Re} \Big ( \sum \limits_{p=1}^{n-1} x^p \cdot y^{n-p} \Big)\\ &= \mbox{Re} \Big ( \sum \limits_{p=0}^{n} x^p \cdot y^{n-p} \Big) - \mbox{Re} \Big (x^n + y^{n} \Big)\\ &= \mbox{Re} \Big ( \frac{x^{n+1} - y^{n+1}}{x-y} \Big) - \mbox{Re} \Big (x^n + y^{n} \Big)\\ &= \mbox{Re} \Big ( xy \frac{x^{n} - y^{n}}{x-y} \Big)\\ &= \mbox{Re} \Big ( e^{i(\alpha + \beta)} \frac{e^{i\alpha n} - e^{i \beta n}}{e^{i \alpha}-e^{i \beta}} \Big)\quad \mbox{(multiply the denom. by conj.)}\\ &= \mbox{Re} \Big ( e^{i(\alpha + \beta)} \frac{(e^{i\alpha n} - e^{i \beta n})(e^{-i \alpha}-e^{-i \beta})}{2 + 2 \cos(\beta- \alpha)} \Big)\\ &= \frac{ \mbox{Re} \Big ( e^{i(\alpha + \beta)}(e^{i\alpha n} - e^{i \beta n})(e^{-i \alpha}-e^{-i \beta}) \Big)}{2 + 2 \cos(\beta- \alpha)} \\ &= \mbox{Exercise  (just distribute the numerator and find the real part)} \end{align*}