La suma de los ejes de la cuña no es un colector

Question

Nota Para esta pregunta, se define un colector topológico como un espacio de Hausdorff, localmente euclidiano y segundo contable. Además, utilizo el subíndice $x$ y $y$ para saber qué copia de $\mathbb{R}$ Estoy llamando a la $x$ y $y$ eje, respectivamente.

Intuitivamente puedo ver por qué la suma de cuñas de la $x$ y $y$ Los ejes no son un colector, ya que no tienen una dimensión bien definida. Me cuesta hacer más rigurosa esta idea.

Dejemos que $\mathbb{R}_x$ denotan el $x$ -eje y $\mathbb{R}_y$ denotan el $y$ -eje. Además, dejemos que $0_x$ y $0_y$ sea el cero en el $x$ y $y$ eje, respectivamente. La suma en cuña de los $x$ y $y$ se define como

$$\mathbb{R}_x\vee\mathbb{R}_y=\mathbb{R}_x\amalg\mathbb{R}_y/(0_x \sim 0_y).$$

Cualquier barrio abierto de $0$ en $\mathbb{R}_x\vee\mathbb{R}_y$ tendría que estar abierto cuando se intersecte con ambos $\mathbb{R}_x$ y $\mathbb{R}_y$ . Esto me lleva a pensar que los barrios abiertos de $0$ en $\mathbb{R}_x\vee\mathbb{R}_y$ son sumas en cuña de intervalos que contienen $0_x$ y $0_y$ en el $x$ y $y$ ejes. Entonces es $\mathbb{R}_x\vee\mathbb{R}_y$ no es una variedad topológica porque no es localmente euclidiana alrededor de $0$ ?

Answer 1

Sí, eso es correcto. Para terminar la prueba, hay que demostrar que una suma en cuña de dos intervalos abiertos no es homeomorfa a un disco abierto en $\mathbb{R}^n$ para cualquier $n$ . Esto puede hacerse, por ejemplo, considerando lo que ocurre si se elimina el origen de la suma de cuñas: el espacio resultante tendrá cuatro componentes conectadas. Eliminar un punto de un disco abierto en $\mathbb{R}^n$ no dejará nada (si $n=0$ ), dos componentes (si $n=1$ ), o un componente (si $n\ge 2$ ), pero nunca cuatro componentes.