Grupo diédrico $D_n$ es nilpotente si $n=2^i$

Question

Quiero demostrar que el grupo diédrico $D_n$ es nilpotente si y sólo si $n=2^i$ para algunos $i$ .

He mostrado la dirección $\Leftarrow$ .

¿Podría darme algunas pistas para la dirección $\Rightarrow$ ?

Suponemos que $D_n$ es nilpotente y $n=2^im$ , donde $2\not\mid m$ ¿o no?

¿Cómo podemos encontrar una contradicción?

Answer 1

Sugerencia :

Un grupo nilpotente es un producto directo de sus subgrupos bajos.

Si el tamaño del orden de un grupo nilpotente tiene un factor primo impar, el tamaño de su centro también tiene un factor primo impar. Esto se deduce del hecho de que cada $p$ -tiene un centro con un tamaño divisible por $p$ .

Ahora demuestre que todo grupo diédrico tiene un centro de tamaño $1$ o $2$ .