Derivada de la convolución

Question

Supongamos que $f(x),g(x)$ son positivos y están en $L^1$ . Además, son diferenciables y su derivada es integrable. Sea $h(x)=f(x)*g(x)$ la convolución de $f$ y $g$ . ¿La derivada de $h(x)$ ¿Existe? Si es así, ¿cómo podemos demostrar que $$ \frac{d}{dx}(f(x)*g(x)) = \left(\frac{d}{dx}f(x)\right)*g(x)$$

Gracias

Answer 1

Utilizando este hilo y el hecho de que si $f_1$ y $f_2$ son dos funciones integrables, $\mathcal F(f\star g)=\mathcal F(f)\cdot\mathcal F(g)$ tenemos $$\mathcal F\left(\frac d{dx}(f\star g)\right)(x)=ix\mathcal F\left((f\star g)\right)(x)=ix \mathcal F(f)(x)\cdot \mathcal F(g)(x),$$ y $$\mathcal F\left(\left(\frac d{dx}f\right)\star g\right)(x)=\left(\mathcal F\left(\frac d{dx}f\right)\right)\cdot\left(\mathcal F(g)(x)\right)=ix \mathcal F(f)(x)\cdot \mathcal F(g)(x).$$ Concluimos por la unicidad de la transformada de Fourier.

Answer 2

Definición: $$h(x)=f*g(x)=\int_A f(x-t)g(t)dt$$ donde A es un soporte de la función $q()$ es decir $A=\{t:q(t)\ne 0\}$

Calculemos la derivada:

$$\frac {dh}{dx}=\underset{dx\rightarrow0}{\lim} \frac {(\int_A f(x+dx-t)g(t)dt-\int_A f(x-t)g(t)dt)}{dx}=\underset{dx\rightarrow0}{\lim}(\int_A \frac{(f(x+dx-t)-f(x-t))}{dx}g(t)dt)$$

Si suponemos que existe alguna función integrable $q(t)$ , tal que para $t$ casi en todas partes $$ \left| \frac{(f(x+dx-t)-f(x-t))}{dx} \right| < q(t), \forall dx>0 $$

Es decir $$ \mu\{t: \left| \frac{(f(x+dx-t)-f(x-t))}{dx} \right| \ge q(t)\}=0,\forall dx >0 $$

entonces por el teorema de convergencia dominada de Lebesgue podemos empujar el límite dentro de la integral.

$$\frac {dh}{dx}=\frac{d}{dx}(f*g(x))=\int_A f'(x-t)g(t)dt=f'*g$$

Bajo el supuesto de que: $\int_A q(t)dt$ está acotado por encima. Una situación es cuando A es un conjunto compacto y $f,g$ son funciones continuas en el conjunto A con un número finito de dicontinuidades.

Answer 3

Tenga en cuenta que, si $ f\in L_1(R)$ entonces es transformable de Fourier. Ya que,

$$ \left|\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ixw}\right| \leq \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)| < \infty$$ .

Para demostrar que la convolución de dos $L_{1}(R)$ funciones es de nuevo un $L_{1}(R)$ que la función

$$ h(x) = \int f(t) g(x-t) dt $$

$$ \int |h(x)|dx \leq \int\int |f(t)| |g(x-t)| dt dx = \int |f(t)|\int |g(x-t)|dxdt = \int |f(t)| ||g||_1 dt = ||f||_1 ||g||_1 \Rightarrow h \in L_1(R)\,.$$

El cambio del orden de integración se justifica por el teorema de Fubini. Por lo tanto, se puede utilizar la técnica de Fourier como en la respuesta de Davide.