Demostrar que una función compleja NO es holomorfa

Question

Estoy un poco confundido sobre todas las diferentes formas de mostrar que algo es holomorfo, y me pregunto si mis pensamientos sobre lo siguiente están en el camino correcto.

Mostrar $$g(z)=\frac{z^*}{z^2+1}$$ no es holomorfa (donde $z^{*}$ denota el complejo conjugado).

Sé que una función es holomorfa si su derivada con respecto a $z^*$ es idénticamente cero, pero no estoy seguro de estar tomando la derivada con respecto al conjugado correctamente.

¿Sería simplemente $\frac{\partial g}{\partial z^{*}}=\frac{(z^2+1)(1)-(z^*)(0)}{(z^2+1)^2}=\frac{1}{z^2+1}$ que sólo es cero para $z=i$ ¿entonces en general no es holomorfo? ¿Es un razonamiento correcto o no?

Y otro ejemplo de no holomorfo, $$h(z)=z((z^{*})^2-z^2)$$

$$=(zz^{*})z^{*}-z^2=|z|^{2}z^*-z^2$$

también lo haría el $z^{*}$ derivado sólo sea $|z|^2$ que es cero sólo en el origen? Estoy confundido sobre cómo demostrar esto. Creo que también estoy confundido en la toma de la desviación con respecto a la conjugada.

Sé que también podría intentar separarse en la forma de $U(x,y)+IV(x,y)$ y demostrar que la RC no se sostiene, pero eso parece aún más difícil. Buscando cualquier ayuda/consejo. Gracias

Answer 1

No estoy seguro de que lo siguiente te responda. Si no lo hace, downvote y voy a borrar esto.

La función $$h(z)=\frac{z^2+1}z$$ es claramente holomorfa en $\Bbb C\setminus\{0\}$ .

Si $g$ fueran holomorfas, entonces $gh$ sería, pero $$|gh(z)|=1$$ así, por el principio del módulo máximo, $gh$ es constante, lo cual es una contradicción.

Answer 2

Sí, tiene razón. Como usted menciona una función compleja $f$ es holomorfa en algún conjunto abierto $G \subset \mathbb{C}$ si \begin{align} \frac{\partial f}{\partial \bar z} = 0. \end{align} Tenga en cuenta que también tenemos que \begin{align} \frac{\partial}{\partial \bar z} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} + i\frac{\partial}{\partial y} \right). \end{align} lo que significa \begin{align} \frac{\partial g}{\partial \bar z} =&\ \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} + i\frac{\partial}{\partial y} \right) \frac{x-iy}{x^2-y^2+1+i2xy}\\ =&\ \frac{(x^2-y^2+1+i2xy)-(x-iy)(2x+i2y)}{2(x^2-y^2+1+i2xy)^2}+i \frac{-i(x^2-y^2+1+i2xy)-(x-iy)(-2y+i2x)}{2(x^2-y^2+1+i2xy)^2}\\ =& \frac{(z^2+1)}{(z^2+1)^2} = \frac{1}{z^2+1} \end{align}