Si $M$ es un colector liso y $X(t)$ es una curva parametrizada en ella, entonces en cada punto $X(t)$ podemos definir un vector tangente que se encuentra en $T_{X(t)}M$ . Todos estos vectores tangentes juntos forman un campo vectorial tangente (a esa curva) $v_X$ . La razón por la que esto se llama "velocidad" es intuitivamente clara para mí.
Pero realmente estoy luchando para intuitivamente entender por qué definimos la aceleración como $\nabla_{v_X}v_X$ . La única manera en que puedo conciliar esta definición de aceleración es la siguiente:
En general, si $Y,Z$ son dos campos vectoriales, entonces debo interpretar $\nabla_YZ$ como el cambio en $Z$ mientras me muevo por la curva $\gamma$ al que $Y$ es tangente (es decir, en cada punto $p$ , $Y(p)$ es el vector tangente a $\gamma(p)$ )?
¿Es correcta la interpretación anterior? ¿Debería entonces decir sobre $\nabla_{v_X}v_X$ que si $X(t)$ es la trayectoria de una partícula, entonces $\nabla_{v_X}v_X$ es el cambio en $v_X$ a medida que avanzo en esa trayectoria? Agradecería cualquier ayuda.
