Problema de geometría, encontrar los ángulos que faltan

Question

Una de mis estudiantes me mostró un problema que, según ella, es similar al que harían en la escuela secundaria en su país de origen (que adjunto aquí. . El objetivo del problema es encontrar la medida de $\angle DEC$ utilizando las medidas de los ángulos proporcionados. He intentado trabajar en esto para ver qué otras medidas de ángulo podría deducir, y lo incluyo aquí Aquí es donde estoy atascado. Lo he intentado:

• Etiquetó un ángulo desconocido como x y determinó todos los demás ángulos desconocidos en términos de $x$ pero es totalmente consistente y nada parece simplificar para indicar lo que $x$ es.
• Dibujo en líneas paralelas a los lados a través de varios puntos, y uso lo que sé sobre líneas paralelas cortadas por transversales, pero no parece que me acerque al objetivo.

Sospecho que tengo que dibujar alguna línea adicional o ampliar el diagrama de alguna manera, pero no puedo averiguar qué. Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Ampliar $BC$ a $F$ tal que $∠BFA = ∠DEB$ .

Entonces, $AEDF$ es un cuadrilátero cíclico.

$∠DAF = 180° - 30° - 60° = 90°$

Por lo tanto, el centro del círculo AEDF debe estar en DF. Sea O el centro.

$∠AOC = 2∠AFD = 60° = ∠ODG$

$AO = OD$

$∠OAC = ∠OAD - ∠CAD = 20° = 2∠DAE = ∠DOG$

Entonces, $△OAC≅△DOG$ .

$∠DEG = 180° - 20° - ∠DGE = 160° - 60° -20° = 80° = ∠DGE$

Por lo tanto, $OC = DE$ . Además, $∠EOC = 2(10°) = ∠ADE$ y $OE = DA$ .

Entonces, $△EOC≅△ADE$ .

$∠DEC = 180° - 30° - ∠CEO - ∠OEA = 150° - ∠EAD - 70° = 70°$

Answer 2

He utilizado esto como último recurso, y estoy seguro de que existe una solución más elegante, pero esto es por geometría de coordenadas. Establece la base de ABC como el eje x, y la altitud desde dicha base como el eje y. Las líneas AC y CB tienen entonces ecuaciones: $$\tan\left(50\right)x+\sin50=y$$ $$-\tan\left(50\right)x+\sin50=y$$ Dado que los gravámenes AB y AD comparten un intercepto x de $\cos50$ y AD tiene una pendiente de $\tan(10)$ podemos derivar la ecuación de AD para que sea: $$\tan\left(10\right)\left(x+\cos50\right)=y$$ Las líneas AD, ED y CB se cruzan en D, y ED tiene una pendiente de $\tan(10+20)=\tan(30)$ De ahí podemos deducir que la ecuación de ED encontrando las coordenadas del punto D y utilizando la forma de pendiente del punto de una recta: $$\tan(10)x+\tan(10)\cos(50)=-\tan(50)x+sin(50)$$ $$x_D=\frac{\left(\sin50-\tan\left(10\right)\cos\left(50\right)\right)}{\tan\left(10\right)+\tan\left(50\right)}$$ $$y_D=-x_D\tan(50)+\sin(50)$$ La ecuación de la ED: $$\tan\left(30\right)\left(x-x_{d}\right)-x_{d}\tan\left(50\right)+\sin50=y$$ La recta CE comparte una intersección x con ED en E y también comparte una intersección y con AC y CB en C. A partir de estos dos puntos podemos averiguar la pendiente de ED. Observa que sólo necesitamos la pendiente, porque el objetivo es encontrar un ángulo. No necesitamos la ecuación completa.

$$x_E=\frac{x_{d}\tan\left(50\right)-\sin\left(50\right)}{\tan30}+x_{d}$$ $$y_E=0$$ $$x_C=0$$ $$y_C=\sin50$$ $$slope=\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{-\sin50}{\frac{x_{d}\tan\left(50\right)-\sin\left(50\right)}{\tan30}+x_{d}}$$ Por lo tanto: $$\arctan(\frac{-\sin50}{\frac{x_{d}\tan\left(50\right)-\sin\left(50\right)}{\tan30}+x_{d}})$$ es el ángulo que forma CE con la horizontal, resulta ser exactamente -80 grados. Si volvemos a poner esto en el contexto del problema, eso significa que $\angle BEC$ est $180-80=100$ grados, y como $\angle DEC= \angle BEC - \angle BED$ y $\angle BED$ es de 30 grados. podemos concluir $\angle BEC = 100 - 30 = 70^\circ$

Nota, he omitido mucho del álgebra fea, por ejemplo, no es riguroso concluir que la pendiente de CE es de 80 grados simplemente con una calculadora, es importante que uses las identidades trigonométricas para verificar por ti mismo.

Answer 3

Aquí está la prueba con la regla del seno. Esta será la solución más corta, pero es poco elegante, como ocurre con todos los problemas del tipo "Problema de geometría fácil del mundo". Y como con todas esas preguntas, habrá una solución agradable, (esperemos). Considera el diagrama "simplificado" de abajo.

Me equivoqué en la nomenclatura, así que estamos buscando $\theta = \angle EDC$ .

En $\triangle CDE: \dfrac {EC}{\sin \theta} = \dfrac {DC}{\sin (180^\circ - 80^\circ - \theta)} = \dfrac {DC}{\sin (80^\circ + \theta)}$

En $\triangle ACE: \dfrac {EC}{\sin 40^\circ} = \dfrac {AC}{\sin 80^\circ}$

En $\triangle ACD: \dfrac {AC}{\sin 150^\circ} = \dfrac {DC}{\sin 10^\circ}$

Por lo tanto:

$$\frac {\sin (80^\circ + \theta)}{\sin \theta} = \frac {DC}{EC} = \frac {AC \sin 10^\circ}{\sin 150^\circ} \cdot \frac {\sin 80^\circ}{AC \sin 40^\circ} = \frac {\sin 10^\circ \sin 80^\circ}{\sin 150^\circ \sin 40^\circ}$$

$$\frac{\sin (80^\circ + \theta)}{\sin \theta} = \frac {\sin 80^\circ \cos \theta + \cos 80^\circ \sin \theta}{\sin \theta} = \sin 80^\circ \cot \theta + \cos 80^\circ$$

Así tenemos:

\begin{align}\theta &= \cot^{-1} \left(\frac {\sin 10^\circ}{\sin 150^\circ \sin 40^\circ}-\cot 80^\circ\right)\\ & = \cot^{-1} \left(\frac {\sin 10^\circ}{\sin 30^\circ \sin 40^\circ}-\tan 10^\circ\right)\\ & = \cot^{-1} \left(\frac {2\sin 10^\circ}{4\sin10^\circ \cos 10^\circ \cos 20^\circ}-\frac{\sin 10^\circ}{\cos 10^\circ}\right)\\ & = \cot^{-1} \left(\frac {1}{2\cos 10^\circ \cos 20^\circ}-\frac{\sin 10^\circ \cos 20^\circ}{\cos 10^\circ \cos 20^\circ}\right)\\ & = \cot^{-1} \left(\frac {\sin 30^\circ - \sin 10^\circ \cos 20^\circ}{\cos 10^\circ \cos 20^\circ}\right)\\ & = \cot^{-1} \left(\frac {\cos 10^\circ \sin 20^\circ}{\cos 10^\circ \cos 20^\circ}\right)\\ & = \cot^{-1} \tan 20^\circ\\ & = 70^\circ \end{align}

Los últimos pasos son sólo es posible si sabemos de antemano que la solución es agradable.

Answer 4

El problema parece configurado para un par de aplicaciones del teorema m-n cot . Sea $\angle DEC=\theta$ .
Por ese teorema y utilizando los ángulos que ya has marcado en tu segunda imagen, tenemos las siguientes dos ecuaciones $$\text{ In }\triangle ABC\text{ with cevian } AD, \quad (BD+CD)\cot(60^\circ)=BD\cot(10^\circ)-CD\cot(40^\circ) \qquad(1)\\ \text{In }\triangle EBC\text{ with cevian } ED, \quad (BD+CD)\cot(80^\circ)=BD\cot(30^\circ)-CD\cot(\theta) \qquad(2)$$

Tome $\dfrac{BD}{CD}=z$ , dividir $(1),(2)$ por $CD$ en ambos lados, se obtiene $$ \dfrac{z+1}{\sqrt 3}=z\cot(10^\circ)-\cot(30^\circ+10^\circ) \qquad(3)\\ \quad (z+1)\cot(90^\circ-10^\circ)=z\cot(30^\circ)-\cot(\theta) \qquad(4)$$

Ahora, podemos eliminar $z$ de las dos ecuaciones para encontrar la otra incógnita $\theta$ .
Dejemos que $\cot(10^\circ)=t$ .
$\cot(40^\circ)=\cot(30^\circ+10^\circ)=\dfrac{\cot(30^\circ)\cot(10^\circ)-1}{\cot(10^\circ)+\cot(30^\circ)}=\dfrac{\sqrt3t-1}{\sqrt 3+t}$ $\cot(80^\circ)=\cot(90^\circ-10^\circ)=\tan(10^\circ)=\dfrac1t$

Eliminación de $z$ da fácilmente $\cot(\theta)=\dfrac{\frac{t}{\sqrt3}-1}{t+\frac1{\sqrt3}}=\dfrac{\cot(10^\circ)\cot(60^\circ)-1}{\cot(10^\circ)+\cot(60^\circ)}\\=\cot(60^\circ+10^\circ)=\cot(70^\circ) \implies \theta=70^\circ$

Answer 5

Sea AB=2 unidades $$\dfrac{AB}{\sin ADB}=\dfrac{2}{\sin 120^0}=\dfrac{4}{\sqrt 3} $$ $$BD= \sin 10^0 *\dfrac{4}{\sqrt 3}$$ $$\dfrac{\sin50^D}{DE} $$ Calcular la DE a partir de lo anterior $$DC=BC-DB\;$$