Cómo encontrar todos los postive número entero tal $(n+k)\nmid \binom{2n}{n}$

Question

Pregunta:

Encontrar el todo entero $k$,hay existen infinidad de $n$ tal $$(n+k)\nmid \binom{2n}{n}$$

Este es china 2014 (OCM problema 4),no se han finales examen de tres horas.

Creo que podemos usar el Resto Chino(o Luca) Teorema? Es lindo problema.

Se dice por algunos estudiantes,$k\neq 1,k\in Z$ es la respuesta.

Answer 1

Si $k\le 0$, entonces para cualquier extraño prime $p>-2k$ deje $n=p-k$$2n<3p$$p^2\|(2n)!$$(n+k) \not\mid \binom{2n}{n}$. Infinidad de opciones de $p$ conducir a una infinidad de tales $n$.

Si $k>1$, por Bertrand postulado de que hay un primer $p>2$$k<p<2k$. Entonces para cualquier $t>1$ deje $n=p^t+(p-k)$,$2n=2p^t+2(p-k)$, y desde $0<2(p-k)<p$ se desprende de Lucas del teorema que $\binom{2n}n \equiv 2\binom{2p-2k}{p-k}\not\equiv 0\pmod{p}$ y que, por ende,$(n+k)\not\mid\binom{2n}n$. Infinidad de opciones de $t$ conducir a una infinidad de tales $n$.

En el caso restante se $k=1$ siempre tenemos $(n+1)\mid\binom{2n}n$. Desde $\gcd(2n+1,n+1)=1$ $$ \frac{2n+1}{n+1}\binom{2n}{n} = \binom{2n+1}{n} \in \mathbb{Z} \implica (n+1)\left\vert \binom{2n}n\right. $$