Tratando de demostrar que la secuencia: 3, 3, sin(1), 3, 3, sin(2), 3, 3, sin(3), 3, 3, sin(4), $\ldots$ no converge a 3

Question

$\textbf{Proof}$ :

Necesito demostrar que $\exists \epsilon > 0$ tal que.., $\forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \ge N$ tal que.., $\ \left | a_n - 3 \right | \ge \epsilon$

Dejemos que $\epsilon = 2$ Entonces, si se toma $n = 30$ tenemos que $a_{30} = sin(10) \approx -0.544 \ldots$

Así que tenemos que $ \left | sin(10) - 3 \right | \ge 2$

Por lo tanto, he demostrado que, $\exists \epsilon > 0$ tal que.., $\forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \ge N$ tal que.., $\ \left | a_n - 3 \right | \ge \epsilon$ , donde $\epsilon = 2$ y $n = 30$ .

Me pregunto si esta prueba es correcta.

Answer 1

Tienes que encontrar $\varepsilon>0$ tal que, para todos $N\in\mathbb N$ existe $n\geq N$ tal que $|a_n-3|\geq \varepsilon$ . Lo que has hecho sólo funcionará para $N\leq 30$ pero, si por ejemplo $N=31$ , tienes que encontrar un $n\geq 31$ tal que $|a_n-3|\geq\varepsilon$ .

En su lugar, podría hacer lo siguiente: dado $N\in\mathbb N$ existe $n\geq N$ tal que $a_n=\sin k$ para algunos $k\in\mathbb N$ . Así que, para eso $n$ , $|a_n-3|=|\sin k-3|\geq\left||3|-|\sin k|\right|\geq 3-|\sin k|\geq 2$ .

Answer 2

Basta con que muestres $\langle \sin n\rangle $ no puede converger a $3$ . Es decir, si la secuencia converge a $3$ , entonces la subsecuencia $\sin 1,\sin 2,\ldots$ convergería a $3$ . Pero para cualquier $n$ tenemos que $\sin n \leqslant 1$ . Por lo tanto, esto es imposible. Obsérvese que si sustituimos $3$ con $1$ las cosas se pondrían mucho más delicadas.