Límites de nulidad y rango para una matriz nilpotente

Question

Dejemos que $A=\mathbb R^{11}\to \mathbb R^{11}$ sea una transformación lineal tal que $A^5=0$ y $A^4\neq 0$ . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
a) $\operatorname{null}A\le7$
b) $2\le\operatorname{null}A$
c) $2\le\operatorname{rk}A\le9$

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No sé qué pienso sobre $A$ de esta información. Creo que construir como ejemplo en el que esto se mantenga, pero no puedo construir ningún ejemplo de tipo que satisfaga $A^5=0$ pero $A^4\ne0$ .

Ahora tengo una idea: considerar $T:\mathbb R^{11}\to\mathbb R^{11}$ tal que $$T(x_1,x_2,...,x_{11})=(x_2,x_3,x_4,x_5,0,0,..,0)$$

$\Rightarrow T^5(x_1,x_2,...,x_{11})=(0,0,...,0)$ . Así que podemos decir $\operatorname{null}T\le11-\operatorname{rk}T=7$

Answer 1

Sólo la respuesta a) es verdadera. De hecho, más precisamente, las siguientes desigualdades son verdaderas :

$4\leq \text{Rank}(A)\leq 9 $ y $3\leq\text{Nullity}(A)\leq 7$

Para demostrarlo es necesario conocer la descomposición de Jordan para una transformación lineal nilpotente:

Una transformación lineal nilpotente de grado $u$ (es decir $A^u=0$ y $A^{u-1}\neq 0$ ) es similar a una matriz diagonal de bloques : $$J = \begin{bmatrix} J_{p_1} & \; & \; \\ \; & \ddots & \; \\ \; & \; & J_{p_k}\end{bmatrix}$$ donde cada bloque $J_{p_i}$ es una matriz cuadrada de tamaño $p_i$ y de la forma : $$J_{p_i} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & \; & \; \\ \; & 0 & \ddots & \; \\ \; & \; & \ddots & 1 \\ \; & \; & \; & 0 \end{bmatrix}.$$ Donde para todos $i$ , $0\leq p_i \leq u$ y al menos una $p_i$ es tal que $p_i=u$ Además, es fácil ver que $Nullity(A)=k$ (el número de bloques).

Aquí, con $u=5$ y la condición $p_i\leq u$ el número mínimo de bloques es $3$ (ya que se necesita al menos un bloque de cinco y un bloque de seis no es posible completar la descomposición en bloques, por lo que se necesitan al menos dos bloques más para cumplir las 11 dimensiones) : el $Nullity(A)\geq 3$ y, utilizando el teorema $Rank(A) +Nullity(A)=11$ tendrás $Rank(A)\leq 9$ .

Ahora, se tiene al menos un bloque de tamaño 5, que es un bloque de rango 4 : el rango de la transformación lineal es al menos superior a 4, por lo que $Rank(A)\geq 4$ , lo que lleva, de nuevo a partir de $Rank(A) +Nullity(A)=11$ , a $Nullity(A)\leq 9$ .