demostrar una desigualdad en la norma.

Question

Mi libro de texto dice que "las estimaciones obvias muestran que" $$\Biggl|\Biggl|\sum_{n=1}^\infty c_n e^{int}\left(1-\frac{\sin(\pi \delta_n)}{\pi \delta_n}\right)\Biggr|\Biggr|\leq 1-\frac{\sin(\pi L)}{\pi L}$$ bajo los supuestos $$\sum_n|c_n|^2\leq 1$$ $$|\delta_n|\leq L< 1/4$$ Ahora estoy tratando de demostrar la desigualdad. He aplicado la desigualdad de Hölder y: $$\Biggl|\Biggl|\sum_{n=1}^\infty c_n e^{int}\left(1-\frac{\sin(\pi \delta_n)}{\pi \delta_n}\right)\Biggr|\Biggr|\leq \sqrt{ \sum_{n=1}^\infty \Bigl|1-\frac{\sin(\pi \delta_n)}{\pi \delta_n}\Bigr|^2} $$ Pero ahora no sé seguir adelante. ¿Alguna sugerencia, por favor?

Answer 1

$\sum |c_n|^2 \leq 1$ y $|e^{int}| < 1$ .

Ahora otra observación es : $$ 1 - \frac {\sin {\pi x}} {\pi x}$$ es creciente en el intervalo en el intervalo $0 < x \leq \frac{1}{4}$ por el hecho de que la derivada es positiva.

Así que el límite superior se puede establecer evaluando en $x = L$ .