Dos jugadores P y Q se turnan para lanzar cada uno dos dados justos e independientes. P tira los dados primero.
El primer jugador que consiga una suma de siete gana la partida. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador P gane la partida?
Respuesta
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adijo
Puntos
313
La probabilidad de que $ P $ finalmente gana el juego puede representarse como la suma de una serie geométrica infinita.
Por ejemplo,
La probabilidad de $ P$ ganar en la primera ronda es $ \dfrac{1}{6} $ . (Ya que fuera del $ 36 $ posibles resultados, hay $ 6 $ resultados en los que la suma de los dados es igual a $ 7 $ .)
La probabilidad de $ P $ ganar en la segunda ronda es $ \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6}\times \dfrac{1}{6} $ . Esto significa que para $ P $ para ganar la segunda ronda, tiene que perder la primera ronda, entonces $ Q $ tiene que perder su turno y finalmente $ P $ gana. Esto continúa.
La respuesta final es
$$ \large\dfrac{1}{6} + \left( \dfrac{5}{6}^{2} \times \dfrac{1}{6} \right) + \left( \dfrac{5}{6}^{4} \times \dfrac{1}{6} \right) + \dots = \displaystyle\sum\limits_{i=0}^{\infty} \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6}^{2n}$$
Se trata de una serie geométrica infinita y su suma es igual a
$$ \large\dfrac{\dfrac{1}{6}}{\left( 1 - \dfrac{5}{6}^2 \right)} = \boxed{\dfrac{6}{11}} $$
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