¿Probabilidad de que el primer actor gane un concurso de "el primero en sacar siete con dos dados"?

Question

Dos jugadores P y Q se turnan para lanzar cada uno dos dados justos e independientes. P tira los dados primero.

El primer jugador que consiga una suma de siete gana la partida. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador P gane la partida?

Answer 1

Voy a suponer que P va primero. La pregunta debería haberlo dicho, a no ser que se pretendiera otra cosa, en cuyo caso no está claro.

Let (minúscula) $p$ sea la probabilidad de que P gane finalmente. Entonces $$ \begin{align} p & = \Pr(\text{P wins on 1st trial}) + \Pr(\text{P loses on first trial and ultimately wins)} \\[8pt] & = \frac 1 6 + \frac 5 6 (1-p). \end{align} $$ Así que resuelve lo siguiente: $$ p =\frac 1 6 + \frac 5 6 (1-p). $$

Answer 2

Dejemos que $p$ es la probabilidad de que el primer jugador $P$ (en última instancia) gana, y deja que $q$ sea la probabilidad de que $Q$ al final gana. Está claro que con la probabilidad $1$ el juego termina, así que $p+q=1$ .

Nosotros condición en $P$ El primer lanzamiento de la empresa. Con la probabilidad $\frac{1}{6}$ , obtiene una suma de $7$ y gana inmediatamente.

Otra forma en la que puede ganar en última instancia es si lanza algo que no sea $7$ pero $Q$ no gana en última instancia. La probabilidad $P$ El primer lanzamiento de la empresa no es un $7$ es $\frac{5}{6}$ . Dado que esto ha ocurrido, la probabilidad de que $Q$ no gana es $1-p$ . Así, $$p=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}(1-p).$$ Tenemos una ecuación lineal para $p$ . Resuelve.

Answer 3

Obsérvese que la probabilidad de un siete es $1/6$ . Así que la respuesta es

$$(1/6) + (5/6)\times (5/6) \times (1/6) + \dots= \frac{1}{6}\sum_{j=0}^\infty \Bigl(\frac{25}{36}\Bigr)^j = \frac{6}{11}.$$

Answer 4

Supongamos que el jugador $P$ comienza el juego. Probabilidad de que el jugador $P$ gana después del primer intento es $1/6$ La probabilidad de que el jugador $P$ no gana después del primer intento es $5/6$ . Si el jugador $P$ no gana después del primer intento, la probabilidad de que el jugador $P$ puede intentar ganar de nuevo es $5/6$ . Así que la probabilidad de que el jugador $P$ ganará después del segundo intento es $\frac16(\frac56\frac 56)$ . La probabilidad de que el jugador $P$ ganará después del tercer intento es $\frac16(\frac56\frac 56)^2$ . La probabilidad de que el jugador $P$ ganará es entonces igual a $$ \sum_{n=0}^\infty\frac16\biggl(\frac56\cdot\frac56\biggr)^n=\frac16\sum_{n=0}^\infty\biggl(\frac{25}{36}\biggr)^n=\frac6{11}. $$

Answer 5

Piensa en este problema como si se tratara de un solo jugador tirando dados, y paramos la partida cuando saca un $7$ . Se trata de una distribución geométrica, en la que la probabilidad de "éxito" es $p=1/6$ por lo que podemos escribir el pmf que describe el número de tiradas $k$ hasta la primera $7$ aparece: $$ P(X=k)=(1-p)^{k-1}p $$ Ahora, el primer jugador gana la partida si el juego se detiene en la primera, tercera, quinta tirada y así sucesivamente, en otras palabras $k$ debe ser impar. Dejemos que $k=2n-1, n=1,2,\dots$ Ahora tenemos $$ P(P \text{ wins})=\sum_{n\ge 1}(1-p)^{2n-2}p=\dfrac{1}{2-p} $$ Sustituir $p=1/6$ y conseguir que su respuesta sea $\dfrac{6}{11}$ (suponiendo que P ruede primero; de lo contrario, es sólo el complemento). ¡Pero la buena intuición aquí es que tirar primero es ventajoso!