La matemática de la Historia de la Pregunta acerca de la función exponencial

Question

Mientras que el tutor de un estudiante recientemente, me he encontrado con la situación de explicar los logaritmos por primera introducción de funciones de la forma $$f(x)= a^x$$ where $un \ge 0,x\in \mathbb{R}$. My student then asked me a seemingly innocent question, what if $un < 0.$ I explained to her, that it suffices to consider the basic case $$g(x)= (-1)^x$$ however I told her that the answer to that is beyond the scope of the material. I did tell her the answer though, namely that $$g(x) = (-1)^x = (e^{i \pi})^x = e^{i x \pi} $$ que es el círculo unitario en el plano complejo. Por supuesto, esto abre una nueva lata de gusanos.

Esto me llevó a pensar, en el curso de la historia la más probable secuencia cronológica fue que las funciones de la forma $f(x)$ fueron considerados antes de los números complejos se formalizaron. Entonces, ¿los matemáticos del pasado simplemente que funciones con $a<0$ eran simplemente indefinido? O se da el caso de que los números complejos se consideran en primer lugar?

Answer 1

Rafaele Bombelli en l'Algebra (1572) considera imaginaria de las raíces de las ecuaciones cúbicas de números, ya que podría anular el uno al otro en el curso de un cálculo siguiente. Así que él fue el primero que se atrevió a usar los números imaginarios en los cálculos. Cuánto de esto los cálculos se "formalizó" es una cuestión de opinon. Ciertamente, esto no era una formalización en el sentido moderno. Sin embargo, desde Pitágoras a más de Arquímedes a Gauss formalización ha sido suficiente para obtener los resultados correctos. Por lo tanto, Bombelli es, al menos, uno de los inventores de los números imaginarios. A veces también Cardano está nominado.

Este conocimiento se extendió pronto. Albert Girard en la Invención de la nouvelle en l'algèbre (1629) tratados raíces de números negativos ya sin ningún tipo de ado. Él distingue las raíces 3 y -3 de y les dijo: 9 de la raíz de -9 que no puede ser tomada como positiva o negativa.

René Descartes bautizados estos nuevos números, en 1637. En su Géométrie habla de raíces imaginarias (radices imaginariae) de una ecuación en contraste con la verdadera y la falsa raíces (radices vera, radices falsae) el último que denotan los números negativos, que era una expresión común en ese tiempo.

Como los inventores de los logaritmos podemos nombrar Jost Bürgi (su Arithmetische und geometrische Progresstabulen fueron publicados en 1620, pero descubrió que ya alrededor de 1590), y John Napier cuya Descriptio apareció en 1614.

La palabra función, aún no se utiliza en sentido moderno (incluso de Euler se requiere una fórmula única para definir una función), ha sido inventado por Leibniz en su Methodus tangentium invertido, seu de fuctionibus (1673).

La pregunta puede ser contestada: Primero fueron los números imaginarios, después vinieron las funciones y los logaritmos. Y los logaritmos de números negativos llegó en último lugar.

Leibniz negó la existencia de logaritmos y tuvo una controversia con Johann Bernoulli sobre ese tema en un intercambio de cartas en 1712 a 1713. Bernoulli defendió su logarithme imaginaire. Finalmente Euler resolvió el problema en todos los casos. Pero esa es una historia bien conocida historia.

Answer 2

Respuesta corta: lo Más probable es indefinido.

Respuesta larga: La "ingenua" de la definición de $f(x) = a^x$ donde $a, x \in \mathbb{R}$ $a > 0$ es como sigue. Usted sabe cómo definir $f(n)$ donde $n$ es un número entero. Puede definir $a^{p/q}$ a ser el único número real positivo satisfacer $(a^{p/q})^q = a^p$, por lo que saber cómo se definen $f(n)$ donde $n$ es racional. Al $a > 0$, resulta que $f$ es continua en a $\mathbb{Q}$, por lo que uno puede sensatez definir $f(x)$ para todos los verdaderos $x$ por la búsqueda de una secuencia de Cauchy racionales convergentes a $x$ y tomando el límite.

Al $a < 0$, este razonamiento se cae a pedazos en el segundo paso: no hay ningún número real positivo satisfacer $(a^{p/q})^q = a^p$ si $p$ es impar y $q$ es incluso. Incluso en la otra los números racionales, el resultado de la función es muy discontinua. Así que la única cosa sensata que hacer, a partir de un real de variable perspectiva, es ignorar este caso.

Answer 3

He tropezado con este artículo, tal vez puede ayudar a:

La historia de la Exponencial y Logarítmica Conceptos, Florian Cajori, La American Mathematical Monthly, Vol. 20, Nº 7 (Sep., 1913), pp 205-210.

Por cierto, ya $(-1)^{1/2}$ es indefinido/multivalor.