¿Encontrar los determinantes por medio de la inspección?

Question

Se supone que debo "utilizar las propiedades de los determinantes para evaluar el determinante por inspección" en esta matriz:
$$\begin{bmatrix} 4 & 1& 3\\ -2 & 0 &-2 \\ 5 & 4 & 1\end{bmatrix}.$$

No veo nada (filas cero, formas de transformar la matriz) que haga inmediatamente evidente cuál es el determinante. ¿Qué me falta?

Answer 1

Quita la tercera columna de la primera. Esto deja las columnas 1 y 2 iguales, por lo que el determinante = 0

Answer 2

Si se resta la tercera columna de la primera, que es una transformación válida con respecto al determinante (lo dejará inalterado), se obtendrá: $$\begin{bmatrix} 1 & 1& 3\\ 0 & 0 &-2 \\ 4 & 4 & 1\end{bmatrix}.$$

Ahora está claro que las dos primeras columnas son iguales, y eso significa que el determinante debe ser $0$ .

Adenda: si te preguntas por qué el determinante debe ser $0$ en este caso, considere lo que sucedería si repitiéramos el mismo proceso de nuevo, restando la segunda columna de la primera.