Relación entre la eigendecomposición y la descomposición del valor singular

Question

Dejemos que $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ sea una matriz simétrica real. Por favor, ayúdenme a aclarar una confusión sobre la relación entre la descomposición del valor singular de $A$ y la descomposición propia de $A$ .

Dejemos que $A = U\Sigma V^T$ sea la SVD de $A$ . Desde $A = A^T$ tenemos $AA^T = A^TA = A^2$ y: $$A^2 = AA^T = U\Sigma V^T V \Sigma U^T = U\Sigma^2 U^T$$ $$A^2 = A^TA = V\Sigma U^T U\Sigma V^T = V\Sigma^2 V^T$$

Ambas son descomposiciones propias de $A^2$ . Consideremos ahora una descomposición propia de $A$

$$A = W\Lambda W^T$$

Entonces

$$A^2 = W\Lambda W^T W\Lambda W^T = W\Lambda^2 W^T$$

Así que $W$ también puede utilizarse para realizar una descomposición propia de $A^2$ .

Así que ahora mi confusión: Parece que $A = W\Lambda W^T$ es también una descomposición de valor singular de A. Pero los valores singulares son siempre no negativos, y los valores propios pueden ser negativos, así que algo debe estar mal.

¿Qué está pasando?

Answer 1

Si $A = U \Sigma V^T$ y $A$ es simétrico, entonces $V$ es casi $U$ excepto los signos de las columnas de $V$ y $U$ .

$$A = W \Lambda W^T = \displaystyle \sum_{i=1}^n w_i \lambda_i w_i^T = \sum_{i=1}^n w_i \left| \lambda_i \right| \text{sign}(\lambda_i) w_i^T$$ donde $w_i$ son las columnas de la matriz $W$ .

Los vectores singulares de la izquierda $u_i$ son $w_i$ y los vectores singulares derechos $v_i$ son $\text{sign}(\lambda_i) w_i$ . (Por supuesto, también se puede poner el término de signo con los vectores singulares de la izquierda.)Los valores singulares $\sigma_i$ son la magnitud de los valores propios $\lambda_i$ .

Por lo tanto, $A = U \Sigma V^T = W \Lambda W^T$

y $$A^2 = U \Sigma^2 U^T = V \Sigma^2 V^T = W \Lambda^2 W^T$$

Nótese que los valores propios de $A^2$ son positivos.