Determinación del signo de la integral

Question

Si W es la región delimitada por el cono $z=\sqrt{x^2+y^2}$ y $z=2$ ¿Cómo puedo determinar el signo de $\int{xyz\space dV}$ sobre W? ¿Hay alguna forma de hacerlo sin hacer la integral, por ejemplo, mediante un análisis cualitativo de los gráficos?

Answer 1

La isometría $(x,y,z)\mapsto(-x,y,z)$ envía la función $f:(x,y,z)\mapsto xyz$ a su opuesto $-f$ y hojas $W$ sin cambios. Por lo tanto, $\int\limits_Wf=\int\limits_W-f=-\int\limits_Wf$ , lo que implica $\int\limits_Wf=0$ .

Answer 2

Dividir el volumen $W$ como $$xy > 0, z \in [0,2]$$ y $$xy < 0, z \in [0,2]$$ Ahora haz uso de la simetría para argumentar por qué la integral debe ser cero.

Answer 3

Obtengo la respuesta calculando la integral exactamente.

por Transformación Cilíndrica:

$$\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{2}z}\int_{0}^{2\pi}r^3z\cos(x)\sin(x)dxdrdz$$

pero $\int_{0}^{2\pi}\cos(x)\sin(x)=0$ . entonces la integral $=0$