He resuelto parte de este ejercicio hasta que se me hizo demasiado difícil. Es bueno si usted tiene algunos comentarios sobre lo que he logrado hacer.
En este ejercicio $p \gt 2 $ es primo. Si a y b son números enteros, escribimos $a \equiv b$ si a-b es divisible por p.
a) Suponga que n y m son números enteros tales que n no es divisible por p. Demuestre que si pm/n es un número entero, es divisible por p (Sugerencia: utilice el teorema fundamental de la aritmética).
Mi respuesta: Como n no es divisible por p no es posible reducir la fracción por p. Como pm/n es un número entero, m/n debe ser un número entero. Eso significa que m es divisible por n y que se puede reducir. pm/n se puede escribir pt y, por tanto, es divisible por p.
No he utilizado el teorema fundamental de la aritmética. ¿Significa esto que mi respuesta no es rigurosa?
b) Demuestre que si $0 \lt k \lt p$ entonces $\binom {p}{k}$ es divisible por p.
Respuesta: Podemos excluir k=0 y k=p lo que significaría $\binom {p}{k}=1$ .
La expresión $\binom {p}{k}=\frac{p!}{k!(p-k)!}$ será divisible por p siempre que no se reduzca por p, lo cual es el caso para k=0 y k=p. ¡k! y (p-k)! son siempre menores que p!, y nunca reducen a p.
c) Demuestre que $(a+1)^p\equiv a^p +1$
Mi respuesta
$(a+1)^p=\sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k}a^k1^{p-k}$
$(a+1)^p - (a^p +1)=\sum_{k=1}^{p-1} \binom{p}{k}a^k1^{p-k}$
Los términos en $\sum_{k=1}^{p-1}$ son reducibles por p. La expresión $\binom {p}{k}=\frac{p!}{k!(p-k)!}$ sólo es irreducible por p mientras k=1 y k=p Por lo tanto $(a+1)^p \equiv a^p +1$
d) Demuestre por inducción en a que $a^p \equiv a$ para todos los números naturales a. Explique por qué la fórmula también es válida cuando a es 0 o negativo.
Mi respuesta: La fórmula es válida para a=1: $1^p=1$
Necesito demostrar que la fórmula es válida para $(a+1)^p \equiv (a+1)$ que es lo que hemos demostrado en c). Por eso la fórmula es válida para todos los a.
No soy capaz de resolver lo siguiente:
e) Demuestre que si a no es divisible por p, entonces $a^{p-1} \equiv 1$ . Esto se llama el pequeño teorema de Fermat y es una herramienta muy útil dentro de la teoría de los números.
f) Demuestre que si n no es divisible por 5, entonces $n^8 -1$ es divisible por 5.
g) Demuestre que $3n^7 + 4n$ es divisible por 7 para todo $n \in \mathbb{Z}$
Mi respuesta:
Para n=1: $3n^7 + 4n=7$
$3(n+1)^7 + 4(n+1)$
$=3n^7 + 4n=3n^7 + 3 + 3\sum_{k+1}^{6} \binom {7}{k} + 4(n+1) $ $=(3n^7 + 4n) + 7 + 3\sum_{k+1}^{6} \binom {7}{k}$
Cada trimestre en $\sum_{k=1}^{6} \binom {7}{k}$ es reducible por 7 porque el factor 7 en 7! no ha sido reducido como en k=0 y k=7. Los términos $3n^7 + 4n$ son divisibles por 7 a partir de nuestro supuesto de inducción. El término 7 es obviamente divisible por 7. Por lo tanto $=(3n^7 + 4n) + 7 + 3\sum_{k+1}^{6} \binom {7}{k}$ es divisible por 7.
