Si $\sum a_n$ converge y $\{b_n\}$ está acotado, entonces $\sum a_nb_n$ converge

Question

Queremos demostrar que $\{a_nb_n\}$ es Cauchy, es decir, para cualquier $\epsilon >0$ existe un número entero $N$ tal que para los enteros $m,n$ , $n\ge m \ge N$ $$\left| \sum_{k=m}^n a_kb_k\right| \le |M|\sum_{k=m}^n|a_k|<\epsilon$$ Donde la segunda desigualdad proviene de la desigualdad del triángulo y del hecho de que para todo $|b_n|< M$ ya que esa secuencia está acotada. Como $\sum a$ converge podemos hacer $$\sum_{k=p}^q|a_k|<\frac {\epsilon}{|M|}$$ para dos enteros $q\ge p\ge Q$ . Ahora escoge $N>Q$ y se deduce que $$\left| \sum_{k=m}^n a_kb_k\right| \le |M|\sum_{k=m}^n|a_k|<|M|\frac {\epsilon}{|M|}=\epsilon$$ Busqué una solución en Internet y la encontré mucho más complicada que la prueba que di, lo que me llevó a preguntarme si mi prueba estaba equivocada.
Sé que no pude equivocarme en los límites o en la desigualdad del triángulo, pero tal vez no esté justificado mi reclamo por $Q$ . ¿Es eso lo que falla en mi prueba?

Answer 1

Creo que lo que está mal es que usted asumió $a_n$ para ser absolutamente convergente. En el caso de la convergencia absoluta, la prueba es mucho más sencilla.

EDIT: De hecho si no es convergente absoluto no funciona en absoluto, por ejemplo si tomas $a_k=\frac{(-1)^k}{k}$ y $b_k=(-1)^k$ Como ha señalado puntualmente TonyK (he asumido apresuradamente que la solución que ha encontrado en Internet era la correcta)

Answer 2

Tendrá dificultades para convencer al lector de la línea \begin{equation*} \sum_{k=p}^q|a_k|<\frac{\epsilon}{|M|} \end{equation*} Por ejemplo, tome $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k}$ .

Answer 3

Como adición: si la serie fueron absolutamente convergente, entonces esto sería exactamente la discreta $1$ - $\infty$ Desigualdad de Hölder