@automaticallyGenerated me ha ayudado a entender un problema difícil con el que estaba luchando. Quiero hacer otra pregunta para asegurarme de que he entendido el concepto correctamente. Por favor, revisa mi trabajo, especialmente (c). Estoy bastante seguro de que (a) y (b) son correctas. Gracias de antemano.
Sea 0 p $\frac{1}{3}$ . Consideremos un proceso de ramificación en el que el número X de descendientes de un individuo es cero con probabilidad $p$ uno con probabilidad $2p$ y dos con probabilidad $1 3p$ . Inicialmente hay un individuo.
(a) ¿Para qué valores de p se extinguirá el proceso de ramificación tras un número finito de generaciones con probabilidad 1? Explique.
(b) Para el caso $p = \frac{1}{5}$ , calcula la probabilidad de que el proceso de ramificación sobreviva para siempre.
(c) Supongamos de nuevo que $p = \frac{1}{5}$ . Dado que hay tres individuos en la segunda generación, encuentre la probabilidad de que el proceso de ramificación sobreviva para siempre.
Mi respuesta:
(a) Calcular la media de la primera generación, $\mu$ el proceso se extingue cuando $\mu \leq 1$ . $\mu = 2p + 2 \cdot (1-3p)$ . Por lo tanto, cuando $\frac{1}{4} \leq p \leq \frac{1}{3}$ El proceso se extingue.
(b) La función generadora del proceso de ramificación es $G(s) = p + 2p\cdot s + (1-3p)s^2$ . Utilizando $s = G(s)$ Tengo P(extinción) = 0,5. Por lo tanto, la probabilidad de que el proceso sobreviva para siempre = 0,5.
(c) $P(\text{three individuals' branching processes not dying off}) = 1 - (1-\frac{1}{2})^3 = \frac{7}{8}$ .
