Encuentre las densidades marginales de $X$ y $Y$ conociendo $h(x,y)$

Question

Tengo la distribución con densidad conjunta $h$ (con respecto a la medida de Lebesgue): $$h(x,y)=\frac{3}{2}y 1_{A}(x,y), \ \ A=\{(x,y) \in R^2|0<y, x^2+y^2<1\}$$ Y luego tengo que encontrar las densidades marginales para X e Y. Mientras tenemos eso $x^2+y^2<1 \Leftrightarrow y^2<1-x^2 \Leftrightarrow y<\sqrt{1-x^2}$ así que $0<y<\sqrt{1-x^2}$ por lo tanto creo que:

$$F_X(x)=\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{3}{2}ydy=[\frac{3}{4}y^2]_{0}^{\sqrt{1-x^2}}=\frac{3}{4}(\sqrt{1-x^2})^2=\frac{3}{4}(1-x^2)$$

¿Es un método correcto? Algo dice mi fuera de una simulación que he hecho que esto es incorrecto. ¿Puede alguien corregirme y cómo puedo encontrar la distribución marginal de $X$ ? Debo tener el límite superior $x<\sqrt{1-y^2}$ . Pero, ¿cómo puedo encontrar el límite inferior?

Answer 1

Su densidad conjunta se define sobre la mitad del disco unitario así

$$h_X(x)=\int_0^{\sqrt{1-x^2}}\frac{3}{2}y dy=\frac{3}{4}(1-x^2)\times\mathbb{1}_{[-1;1]}(x)$$

y de forma similar para el otro marginal

$$h_Y(y)=\frac{3}{2}y \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}dx=3y\sqrt{1-y^2}\times\mathbb{1}_{[0;1]}(y)$$

Answer 2

La región es la que se muestra a continuación:

Ahora, lo que has encontrado es la densidad marginal de $X$ y es correcto.

es decir $ ~ \displaystyle f_X(x) = \frac{3}{4} (1-x^2), x \in [- 1, 1]$

Para encontrar la densidad marginal de $y$ , tenga en cuenta que $x$ está limitada por el círculo unitario, tanto a la izquierda como a la derecha.

$ \displaystyle f_Y(y) = \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} \frac{3y}{2} dx = 3 y \sqrt{1-y^2}, y \in [0, 1]$