Supongamos que $n=1$ y $u \in W^{1,p}(0,1)$ para algunos $1 \le p < \infty$ .
(a) Demuestre que $u$ es igual a.e. a una función absolutamente continua y $u'$ (que existe a.e.) pertenece a $L^p(0,1)$ .
(b) Demuestre que si $1 < p < \infty$ entonces $$|u(x)-u(y)|\le|x-y|^{1-\frac 1p}\left(\int_0^1 |u'|^p \, dt \right)^{1/p}$$ para a.e. $x,y \in [0,1]$ .
PDE Evans, 2ª edición: Capítulo 5, Ejercicio 4
Nota: Ya he resuelto la parte (a), gracias a esta pregunta . Sin embargo, estoy buscando ayuda en la parte (b).
La parte (a) ya establecía que $u' \in L^p(0,1)$ . Así que se puede utilizar la desigualdad de Hölder, lo que significa que podemos decir $\int_0^1 |u'| \, dt \le \left(\int_0^1 |u'|^p \, dt \right)^{1/p}$ . Pero no llegué a ninguna parte después de hacer todo esto: $$u(1)-u(0)=\int_0^1 u'(t) \, dt \le \int_0^1 |u'| \, dt \le \left(\int_0^1 |u'|^p \, dt \right)^{1/p}.$$
¿Cómo puedo abordarlo? Por cierto, noto que la desigualdad deseada de la parte (b) se parece a La desigualdad de Morrey para $n=1$ .
