Demuestra que $\|f\|=\left(\int_0^1 (|f|^2+|f'|^2)dx\right)^{(1/2)}$ es una norma en $C^1([0,1])$

Question

Dejemos que $C^1([0,1])$ sea el espacio de todas las funciones que tienen derivada continua. Para cada $f\in C^1([0,1])$ , set $$\|f\|=\left(\int_0^1 (|f|^2+|f'|^2)dx\right)^{(1/2)}$$

Demuestra que $\|\cdot\|$ es un norma del espacio $C^1([0,1])$ .

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¿Cómo lo resuelvo?

¿Es tan sencillo como demostrar que tengo homogeneidad absoluta, desigualdad triangular y un vector cero? Además de representar mi espacio como un espacio vectorial ?

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¿Tendré que demostrar todos los axiomas uno por uno de un espacio vectorial, para demostrar que éste es un espacio vectorial?

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Para demostrar que es una norma, satisfacer la homogeneidad absoluta es bastante fácil:

$$\|cf\|=\left(\int_0^1 (|cf|^2 + |cf'|^2) dx\right)^\frac12 = \left(\int_0^1 (c^2|f|^2+c^2|f'|^2)dx\right)^\frac12$$ $$=\left(c^2\int_0^1 (|f|^2+|f'|^2)dx\right)^\frac12=|c|\|f\|$$

Answer 1

El conjunto de funciones reales en el intervalo $[0,1]$ es ciertamente un espacio vectorial bajo las operaciones $$ f+g\colon x\mapsto f(x)+g(x),\qquad \alpha f\colon x\mapsto \alpha f(x) $$ para $f$ y $g$ cualquier función real sobre $[0,1]$ y $\alpha$ cualquier número real. Demostrar los axiomas es muy fácil.

El conjunto $C^1([0,1])$ se ve fácilmente que es un subespacio del espacio vectorial anterior, porque la derivación es lineal y las combinaciones lineales de funciones continuas son continuas.

Ahora tienes que demostrar las propiedades de una norma.

1. " $\|f\|\ge0$ " es evidente
2. " $\|f\|=0$ implica $f=0$ "es fácil: si una función continua no negativa tiene integral cero, entonces es la función constante cero
3. La homogeneidad es fácil también y de hecho su prueba es correcta.

Como siempre, la parte más difícil es la desigualdad del triángulo. Ésta se puede obtener a partir de la desigualdad de Cauchy-Schwarz si se es capaz de conectar esta norma (aún por demostrar) con un producto interior.

Definir, para dos funciones reales continuas cualesquiera $f$ y $g$ en $[0,1]$ , $$ \langle f,g\rangle_0=\int_0^1 f(x)g(x)\,dx $$ Entonces es fácil demostrar que esto define un producto interno en el espacio $C^0([0,1])$ . Para las funciones $f,g\in C^1([0,1])$ , defina $$ \langle f,g\rangle_1=\langle f,g\rangle_0+\langle f',g'\rangle_0 $$ y demostrar que esto define un producto interno sobre $C^1([0,1])$ por ejemplo, si $\langle f,f\rangle_1=0$ entonces $$ \langle f,f\rangle_0+\langle f',f'\rangle_0=0 $$ y así $\langle f,f\rangle_0=0$ , lo que ya implica $f=0$ . Las demás propiedades son fáciles de derivar.

Ahora, la norma asociada a este producto interior es \begin{align} \|f\|&=(\langle f,f\rangle_1)^{1/2}\\ &=(\langle f,f\rangle_0+\langle f',f'\rangle_0)^{1/2}\\ &=\left(\int_0^1 f(x)^2\,dx+\int_0^1 f'(x)^2\,dx\right)^{\!1/2}\\ &=\left(\int_0^1 (f(x)^2 + f'(x)^2)\,dx\right)^{\!1/2} \end{align} que es precisamente su definición. La teoría general sobre los productos internos y la norma inducida muestra lo que quieres. Observa que ni siquiera tienes que demostrar los puntos 1., 2. y 3. anteriores, porque ya están implícitos en la prueba de que todo producto interior $\langle \cdot,\cdot\rangle$ en un espacio vectorial $V$ define una norma estableciendo $$ \|v\|=(\langle v,v\rangle)^{1/2} $$

Answer 2

Tienes que demostrar que para todos $f,g\in \mathcal C^1([0,1])$ y todos $\lambda\in\mathbb R$ eso:

$\|f\|=0\implies f\equiv 0$

$\|\lambda f\|=|\lambda|\|f\|$

$\|f+g\|\leq\|f\|+\|g\|$