Densidad del espacio vectorial $V=C^1[0,1]$

Question

Dejemos que $V=C^1[0,1]$ , $X=( C[0,1],|| ||_\infty )$ y $Y=( C[0,1],|| ||_2 )$ . Entonces $V$ es

1. denso en $X$ pero no en $Y$
2. denso en $Y$ pero no en $X$
3. densa en ambos $X$ y $Y$
4. ni densa en $X$ ni densa en $Y$ .

Sé que la opción 3 es cierta ya que por el teorema de aproximación de Weirstrass, toda $f$ en $X$ ou $Y$ puede ser aproximado por algún polinomio $g$ en $V$ s.t. para cada $\epsilon>0$ , $|f-g|<\epsilon$ . ¿Pero es cierto que las dos normas diferentes no estarían afectando al resultado? Corríjanme, por favor.

Answer 1

El teorema de aproximación de Weierstrass afirma que toda función en $\mathcal{C}^0([0,1])$ puede ser uniformemente aproximado por una secuencia de polinomios. Por lo tanto, $V$ es denso en $X$ .

Dejemos que $f\in\mathcal{C}^0([0,1])$ uno tiene: $$\|f\|_2^2=\int_{0}^1|f(t)|^2\,\mathrm{d}t\leqslant\int_0^1\|f\|_{\infty}^2=\|f\|_{\infty}^2.$$ Por lo tanto, uno tiene: $$\|f\|_2\leqslant\|f\|_{\infty}.$$ Si una secuencia converge en $X$ convergerá en $Y$ .

Answer 2

Recuerde que tiene $\|f\|_{2} \le \| f \|_{\infty} \mu ([0,1]) = \| f \|_{\infty} $ .

Así, si la aproximación funciona con ${\infty}$ -normas funciona con el $2$ -(esto sigue siendo cierto mientras el conjunto subyacente tenga medida finita). En consecuencia, aquí cualquier subconjunto que sea denso con respecto a ${\infty}$ -también es densa con respecto a $2$ -normas.

Lo contrario no es necesariamente cierto. Por ejemplo, consideremos el subconjunto de funciones continuas que tienen $f(0)= f(1) =0$ . Esto es denso en el $2$ -norma pero no en el $\infty$ -normas.