Un Inesperado Círculo...

Question

He jugado

$$z=\frac{-1+e^{it}}{\phantom{-}2+e^{it}}$$

y se encontró que, cuando dibujo de la real contra el imaginario de $z$, casi se parece a un círculo.

Pero ni ${\frak{R}} z $ni ${\frak I} z$ parecerse a $\cos $ o $\sin$. Es debido a un tipo de transformadas argumento de $\cos $$\sin$? Algo como $\cos(f(t))$?

Answer 1

Deje $a,b,c,d$ ser números complejos y supongamos que c,d no son ambos 0 y no es 0 ${}\ \ ad-bc\ne0$.

Deje $f(z) = \dfrac{az+b}{cz+d}$. Las funciones de este tipo son llamados "lineal fraccional de transformaciones". Entonces si $z$ se mueve alrededor de un círculo en el plano complejo, entonces $f(z)$ sigue un círculo, aunque por lo general no es el mismo círculo o una línea recta. Será una línea recta si y sólo si $z$ pasa a través de algún punto que hace que el denominador $0$. Excepto cuando se $c=0$, usted encontrará que no se mueven a la misma velocidad angular, es decir, cuando se $z$ pasa a través de un cuarto de círculo, a continuación, $f(z)$ podría ir a través de un medio círculo.

En tu ejemplo, $a=1$, $b=-1$, $c=1$, y $d=2$.

Google los términos "lineal fraccional de transformación" y "esfera de Riemann".

PS: también es el caso que si $z$ se mueve a lo largo de una línea recta, a continuación, $f(z)$ mueve a lo largo de una línea recta o un círculo.