Sangaku. Cómo dibujar esos tres círculos con sólo un compás y una regla?

Question

He encontrado en un libro de Sangakus el siguiente problema.

Vamos $R_b$, $R_g$ y $R_r$ los radios de el azul, verde y rojo círculos $C_b$, $C_g$ y $C_r$.

Demostrar que $$\frac{1}{\sqrt{R_r}}=\frac{1}{\sqrt{R_b}}+\frac{1}{\sqrt{R_g}}\,.\quad (1)$$ Y esto lo puedo hacer. Pero, a continuación,

Me gustaría dibujar la figura mí con sólo un compás y una regla.

Sé que es posible como puedo construir inversos, las sumas y las raíces cuadradas con sólo un compás y una regla, pero cuando traté de dibujar la figura con un "simple" o "natural" de la construcción, yo no.

¿Alguien tiene una idea de cómo dibujar es "natural"?

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EDITAR

Respuesta a un comentario de Amzoti: Para demostrar la Relación (1) I probar, primero, la relación: $$AB^2=4R_gR_b\quad (2)$$ La relación (2) es consecuencia de Pitágoras teorema del triángulo $O_bO_gH$: $$AB^2+(R_g-R_b)^2=(R_b+R_g)^2\,.$$ (Fue el anterior Sengaku en el libro).

Por lo tanto, obtener las relaciones $$ \begin{align} AB^2 & =4R_gR_b\quad (2) \\ AC^2 & =4R_gR_r\quad (3) \\ BC^2 & =4R_bR_r\quad (4) \\ \end{align} $$ donde $A$, $B$, $C$ son las proyecciones ortogonales de los centros de los círculos $C_b$, $C_g$ y $C_r$ sobre la línea de $d$. La relación $AB^2=AC^2+BC^2+2AC.BC$, los rendimientos, utilizando las Relaciones (2) a (4), $$4R_gR_b=4R_gR_r+4R_bR_r+8\sqrt{R_bR_g}R_r$$ Dividido por $4R_rR_gR_b$ esta ecuación es $$\frac{1}{R_r}=\Big(\frac{\sqrt{R_g}+\sqrt{R_b}}{\sqrt{R_bR_g}}\Big)^2$$ que en realidad es la Relación (1) al cuadrado.

Answer 1

He encontrado otro método sencillo que perfectamente puede mostrar el significado!

Answer 2

Vamos a resolver el siguiente problema:

Dado, una línea recta $r$, un punto de $A$ tal que $A \in r$ y los radios $R_b$$R_g$, la construcción de tres círculos $\lambda_b$,$\lambda_g$ y $\lambda_r$, de tal manera que son tangentes entre sí y a $r$, y $R_r \leq min(R_b, R_g)$.($R_b$, $R_g$, y $R_r$ son los radios de $\lambda_b$,$\lambda_g$ y $\lambda_r$ respectivamente).

Consulte la siguiente figura:

1. Dibujar una línea recta $t$ tal que $A \in t$$ t \perp r$.
2. Mark $O_b$ tal que $O_b \in t$$O_bA = R_b$.
3. Dibujar $\lambda_b$.
4. Dibujar $s$ tal que $s \parallel r$$d(s,r)=R_g$.
5. Dibuja un arco $\mu$ centrada en $O_b$ y radio de $R_b + R_g$ tal que $\mu$ intesects $s$. El punto de intersección es $O_g$.
6. Dibujar $\lambda_g$.
7. Averiguar $R_r$. (Auxiliar de la construcción).
8. Averiguar $O_r$. ($O_r$ es el punto de intersección de dos arcos: uno de ellos ha $O_b$ como centro y $R_b + R_r$ como el radio y el otro ha $O_g$ como centro y $R_g + R_r$ radio).
9. Dibujar $\lambda_r$.

Auxiliar de la construcción

Deje $d=d(A, B)$ donde $\{B\}= r \cap \lambda_g$.

1. Desde un punto de $Q$ sorteo de dos arbitraria rayos $w$$h$.
2. Marque un punto de $N$ tal que $d(N,Q) = R_b + d + R_g$$N \in h$.
3. Marque un punto de $M$ tal que $d(M,Q) = R_b$$M \in w$.
4. Dibujar una línea recta $u$ tal que $u$ pasa a través de $M$$N$.
5. Marque un punto de $P$ tal que $d(P,Q) = R_b + d + R_g + R_g $$P \in h$.
6. Dibujar una línea recta $v$ tal que $v \parallel u$ $v$ pasa a través de $P$.
7. $R_r = d(M,T)$ donde $\{T \}= v \cap u$.

Answer 3

Quizás véase la sección 9.3 de Alterar Mundus por Alain Matthes

Sección 9 contiene también una prueba de su problema planteado y sería bueno comparar para vuestra prueba, si usted sería tan amable de agregar a su pregunta.

Parece que el sitio web está aún en construcción, pero también tiene algunos elementos de interés.

No he probado la construcción en 9.3 por encima, pero y estoy curioso por saber si funciona.

Actualización: por cierto, es posible que también desee comprobar hacia fuera algunos programas de software y hay MSE recomendaciones sobre hiperbólico-geometría-software-programas mencionados aquí.

Saludos

Answer 4

Quizás mirar en la Geometría de la Chatarrería http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/tangencies/apollonian.html

Answer 5

Creo que mi método es el que usted desea. es la naturaleza.

no es difícil prueba. sólo cuidar $KE=\sqrt{r1*r2}$ y KM=MB