Si la recta tangente a la gráfica de $f(x)=e^{3x^2}$ en el punto $(a,f(a))$ es paralela a la línea $y=3x-5$ entonces cuál es el valor de $a$ ?

Question

Si la recta tangente a la gráfica de $f(x)=e^{3x^2}$ en el punto $(a,f(a))$ es paralela a la línea $y=3x-5$ entonces cuál es el valor de $a$ ?

Sé que la recta tangente tiene una pendiente de $3$ .

Trabajando con la ecuación de la curva dada, tenemos:

$$f(x)=e^{3x^2}\\f'(x)=e^{3x^2}\cdot 6x$$

Como sabemos que la pendiente de la tangente es $3$ lo sustituimos:

$$3=f'(a)=e^{3a^2}\cdot 6a\\\implies\frac{1}{2}=ae^{3a^2}$$

Aquí es donde estoy atascado. He intentado tomar el logaritmo natural de ambos lados, pero la variable está en diferentes niveles. He buscado en internet y lo más cercano que tengo a una respuesta es un Foro Pregúntale al Dr. Matemáticas donde se necesita un método iterativo como el método de Newton.

Se supone que esto es sólo un problema en una clase de Cálculo AB AP, así que estaba bajo la suposición de que había una solución analítica.

Answer 1

En términos de la función W de Lambert:

\begin{align} 2a\exp(3a^2)&=1 ,\\ 4a^2\exp(6a^2)&=1 ,\\ 6a^2\exp(6a^2)&=\tfrac32 ,\\ \operatorname{W}(6a^2\exp(6a^2))&=\operatorname{W}(\tfrac32) ,\\ 6a^2&=\operatorname{W}(\tfrac23) . \end{align}

Desde $\tfrac32>0$ , hay sólo un valor real del lado derecho, $\operatorname{W_0}(\tfrac32)$ .

La respuesta es entonces

\begin{align} a=\sqrt{\tfrac16\operatorname{W_0}(\tfrac32)} \approx0.3478173 . \end{align} .