¿Hay algún error en este documento al calcular la matriz de densidad reducida (modelo simple)?

Question

Esta pregunta se refiere a este de Zurek, Cucchietti y Paz de 2008 (DOI: https://doi.org/10.48550/arXiv.quant-ph/0611200 ). Allí se realiza el siguiente cálculo:

$$|\psi_{SE}(t)\rangle=a|0\rangle|\epsilon_o(t)\rangle +b|1\rangle|\epsilon_1(t)\rangle$$

$$\rho_S=\text{Tr}_{\epsilon}|\psi_{SE}(t)\rangle\langle\psi_{SE}(t)|=|a|^2|0\rangle\langle0|+ ab^*r(t)|0\rangle\langle1|+a^*br^*(t)|1\rangle\langle0|+|b|^2|1\rangle\langle1|$$ con $$r(t)=\langle\epsilon_1(t)|\epsilon_0(t)\rangle$$

Con mis propios cálculos, especialmente utilizando las dos "reglas" siguientes, llego a

$$r(t)=\langle\epsilon_0(t)|\epsilon_1(t)\rangle$$

Reglas (1) y (2): $\left(|a\rangle \otimes|b\rangle\right)\left(\langle c|\otimes \langle d|\right) =|a\rangle\langle c|\otimes|b\rangle\langle d|\tag{1}$ $\text{Tr}\left({\sum_{i,j=1}^2|\alpha_i\rangle\langle\alpha_j|\otimes|\beta_i\rangle\langle\beta_j|}\right)=\sum_{i,j=1}^2|\alpha_i\rangle\langle\alpha_j|\cdot \langle\beta_i|\beta_j\rangle\tag{2}$

¿Estoy cometiendo un error o el cálculo en el papel está "equivocado" (tal vez sólo $r(t)$ y $r^*(t)$ se confunden)?

Answer 1

Reglas (1) y (2): $\left(|a\rangle \otimes|b\rangle\right)\left(\langle c|\otimes \langle d|\right) =|a\rangle\langle c|\otimes|b\rangle\langle d|\tag{1}$ $\text{Tr}\left({\sum_{i,j=1}^2|\alpha_i\rangle\langle\alpha_j|\otimes|\beta_i\rangle\langle\beta_j|}\right)=\sum_{i,j=1}^2|\alpha_i\rangle\langle\alpha_j|\cdot \langle\beta_i|\beta_j\rangle\tag{2}$

La ecuación (2) no es correcta. El $i$ y $j$ están invertidos. Esto se puede ver porque

$$\text{Tr}_{\beta}\left({\sum_{i,j=1}^2|\alpha_i\rangle\langle\alpha_j|\otimes|\beta_i\rangle\langle\beta_j|}\right)$$ $$= \sum_{i,j=1}^2|\alpha_i\rangle\langle\alpha_j|\cdot\text{Tr}_{\beta}\left({|\beta_i\rangle\langle\beta_j|}\right)$$ $$=\sum_{i,j=1}^2|\alpha_i\rangle\langle\alpha_j|\cdot \sum_n\langle n|\beta_i\rangle\langle\beta_j|n\rangle$$ $$=\sum_{i,j=1}^2|\alpha_i\rangle\langle\alpha_j|\cdot \sum_n\langle\beta_j|n\rangle \langle n|\beta_i\rangle$$ $$=\sum_{i,j=1}^2|\alpha_i\rangle\langle\alpha_j|\cdot \langle\beta_j|\sum_n|n\rangle \langle n||\beta_i\rangle$$ $$=\sum_{i,j=1}^2|\alpha_i\rangle\langle\alpha_j|\cdot \langle\beta_j|\beta_i\rangle$$