Identidades de varianza dadas $E(x)<\infty$

Question

Ok tengo dos identidades que quiero probar (verdadero o falso)

1. $Var\left [ \left ( X-E(X) \right )\frac{1}{E(X)} \right ]=\frac{E(X^2)-E(X)^2}{E(X)^2}$

probar

desde $Var(aX)=a^2Var(X) $ , $Var(a+X)=Var(X) $ y $E(X)$ es un escalar finito

$Var\left [ \left ( X-E(X) \right )\frac{1}{E(X)} \right ]=\frac{VAR(X)}{E(X)^2}=\frac{E(X^2)-E(X)^2}{E(X)^2}$

ahora, la segunda que quiero comprobar es

2. $Var\left [ \left ( X-E(X) \right )\frac{1}{X} \right ]=\frac{E(X)^2}{E(X^2)-E(X)^2}$

.... realmente no saben cómo resolver esto

Answer 1

La segunda identidad no es correcta.

Suponiendo que $E[1/X]$ existe, $$\mbox{Var}((X-E(X))/X) = \mbox{Var}(1-E(X)/X)=\mbox{Var}(1)+\mbox{Var}(E(X)/X)).$$

Sin embargo,

$$\mbox{Var}(E(X)/X))=E(X)^2E(1/X^2)-E(X)^2E(1/X)^2,$$

y en general $E(X)^{-1}\neq E(1/X)$ .