probar que : $\frac{a^2+b^2}{a+b} + \frac{b^2+c^2}{b+c}+ \frac{c^2+a^2}{c+a} \geq 3$

Question

Para$a^2+b^2+c^2 =3$,$a,b,c$, los números reales positivos, demostrar que $$\frac{a^2+b^2}{a+b} + \frac{b^2+c^2}{b+c}+ \frac{c^2+a^2}{c+a} \geq 3.$$ puede alguien ayudarme con este problema.

Answer 1

Multiplicando ambos LHS y RHS por $a+b+c = s > 0$, se tiene: $$\sum_{cyc}\left(\frac{a^2+b^2}{a+b}\cdot (a+b) \right)+ \sum_{cyc}\left(\frac{a^2+b^2}{a+b}\cdot c \right) \ge 3(a+b+c) $$ $$\iff 6+ \sum_{cyc}\left(\frac{a^2+b^2}{a+b}\cdot c \right) \ge 3s $$

Ahora tenga en cuenta que $a^2+b^2 \ge \frac12(a+b)^2$ el uso de AM-GM, por lo que es suficiente para mostrar que $$6 + \frac12\sum_{cyc}(s-c)c \ge 3s \iff 6 + \frac{s^2}2-\frac32 \ge 3s \iff (s-3)^2\ge 0$$