Cómo construir un conjunto convexo particular (cuando se definen límites inductivos de espacios de Fréchet en Reed y Simon)

Question

Sea $X$ un espacio vectorial topológico (sobre $\mathbb{C}$) cuya topología está definida por una familia de seminormas separantes $\{\rho_\alpha\}$. Sea $X_1$ un subespacio vectorial de $X$ cuya topología es la topología relativa heredada de $X$ (se puede mostrar entonces que la topología en $X_1$ está simplemente determinada por las seminormas restringidas a $X_1$). Supongamos que $V$ es un vecindario abierto, convexo, balanceado de $0$ en $X_1$ (siendo balanceado significa que $y \in Y, \lambda \in \mathbb{C}, |\lambda| = 1$ implica $\lambda y \in Y).

Me gustaría demostrar que existe un conjunto abierto, convexo, balanceado, $Z$ en $X$ tal que $Z\cap X_1 = V$.

Este es un lema afirmado justo después del Teorema V.15 en el libro de Reed y Simon Métodos de la Física Matemática Moderna Vol. 1. Este teorema trata sobre la construcción de un límite inductivo de espacios de Fréchet.

Se da una demostración del lema, pero tengo dificultades para entender la prueba. Resumiré la prueba a continuación e identificaré el paso que no entiendo:

1. Dado que $X_1$ tiene la topología relativa, existe un abierto $O$ en $X$ tal que $O \cap X_1 = V$.

2. Ya que $O$ es abierto en la topología localmente convexa en $X$, y contiene a $0$, hay un conjunto abierto, convexo, balanceado $O_1 \subseteq O$ con $0 \in O_1.$

3. Se define $Z = \{ \alpha x + \beta y : x \in O_1, y \in V, |\alpha| + |\beta| = 1\} = \bigcup_{y \in V,|\alpha| + |\beta| = 1, \alpha \neq 0}(\beta y + \alpha O_1)$.

4. Este conjunto $Z$ es abierto, balanceado y convexo con $Z \cap X_1 = V$.

La parte de la prueba que no entiendo es por qué $Z$ es un conjunto convexo.

He echado un vistazo a esta pregunta anterior, y parece que puede haber un error en la prueba del lema. Es decir, $Z$ puede que no sea convexo: usualmente, uno construye la envoltura convexa de un conjunto tomando combinaciones convexas finitas de todos los tamaños (no solo combinaciones convexas de dos elementos).

Me pregunto si hay una forma de ajustar la definición de $Z$ para que siga siendo abierto y balanceado, pero también sea convexo.

Se agradecen pistas o soluciones.

Answer 1

Comenzando con el paso 3 en la pregunta anterior, necesitamos modificar ligeramente las cosas.

En primer lugar, cambie ligeramente la definición de $Z$ de la anterior. $$Z = \{\alpha x + \beta y : x \in O_1, y \in V, |\alpha| + |\beta| \le 1\}$$

Por lo tanto, estamos utilizando la condición $|\alpha| + |\beta| \le 1$ mientras que, anteriormente, utilizamos $|\alpha| + |\beta| = 1$.

Es fácil verlo:

$$Z = \bigcup_{y \in V, |\alpha| + |\beta| \le 1, \alpha \neq 0} \beta y + \alpha O_1.$$

Entonces $Z$ es una unión de conjuntos abiertos, y por lo tanto es abierto.

Luego, todavía tenemos $Z \cap X_1 = V$ como antes: mostrando que $V \subseteq Z \cap X_1$ es trivial, así que simplemente trabajemos en la otra contención:

Supongamos que $x_1 \in Z \cap X_1$. Entonces $x_1 = \alpha x + \beta y$ donde $x \in O_1$, $y \in V$, $\alpha \neq 0$, $|\alpha| + |\beta| \le 1$, y $x_1 \in X_1$. Pero entonces $x = \alpha^{-1}(x_1 - \beta y) \in X_1$. Entonces $x \in O_1 \cap X_1 \subseteq O \cap X_1 = V$. Por lo tanto, $\alpha x + \beta y$ es una combinación convexa balanceada. Es decir, $\alpha x + \beta y$ es de la forma $\sum_{i=1}^N \eta_i y_i$, donde $\sum_i |\eta_i| \le 1$ y cada $y_i \in V$. Es un ejercicio sencillo demostrar que cualquier conjunto convexo y balanceado que contiene a $0$ contiene todas sus combinaciones convexas balanceadas. Por lo tanto, $\alpha x + \beta y \in V$ y hemos completado el argumento de que $Z \cap X_1 = V$.

Resta demostrar, entonces, que $Z$ es convexo y balanceado. Bueno, dejemos que $W$ sea la envoltura convexa y balanceada de $O_1 \cup V$. Es decir: $$W = \{\text{sumas finitas } \sum_{i=1}^N \eta_i v_i : \sum_{i=1} |\eta_i| \le 1, \text{y cada } v_i \in O_1 \cup V\}$$

Es fácil ver que $W$ es convexo, balanceado y que $Z \subseteq W$. Así que lo único que queda por ver es que $W \subseteq Z$. Entonces, dejemos que $\sum_{i=1}^N \eta_i v_i \in W$ (sin pérdida de generalidad, podemos asumir que todos los $\eta_i \neq 0$). Dado que los $v_i$ pertenecen a $O_1 \cup V$, por supuesto podemos dividir la suma finita en dos términos:

$$\sum_{i=1}^N \eta_i v_i = \sum_{i=1}^M \sigma_i x_i + \sum_{j=1}^L \gamma_j y_j,$$

donde cada $x_i \in O_1$, cada $y_j \in V$, $M + L = N$, y $\sum_{i=1}^M |\sigma_i| + \sum_{j=1}^L |\gamma_j| \le 1$.

Observemos cómo podemos reescribir el primer término:

$$\sum_{i=1}^M \sigma_i x_i = \sum_{i=1}^M |\sigma_i|\left(\sum_{i=1}^M \frac{\sigma_i} {\sum_{i=1}^M |\sigma_i|}x_i\right).$$

El término entre paréntesis (llamémoslo $\bar{x}$) es una combinación convexa balanceada de elementos en $O_1$ (por lo tanto, $\bar{x} \in O_1$ porque $O_1$ es convexo y balanceado). De manera similar, podemos mostrar que el término $\sum_{j=1}^L \gamma_j y_j = \sum_{j=1}^L |\gamma_j| \bar{y}$ para algún $\bar{y} \in V. Todo esto demuestra que

$$\sum_{i=1}^N \eta_i v_i = \sum_{i=1}^M |\sigma_i| \bar{x} + \sum_{j=1}^L |\gamma_j| \bar{y} \in Z.$$

Y esto completa la prueba del lema.