Prueba de que los rayos abiertos son una subbase $\mathscr S$ para la topología de orden $\mathscr T$ demostrando que $\mathscr B$ de todas las intersecciones finitas de elementos de $\mathscr S$ es una base para $\mathscr T$ :
(Es de esperar que sea obvio que $\mathscr S$ es una subbase para alguna topología en $X$ .)
Primero, $\mathscr B = \{\text{open rays in X}, \text{open intervals in X}\}$ donde algunos (resp: todos) los rayos abiertos son intervalos semiabiertos si y sólo si $X$ tiene un $\max$ o (resp: y) $\min$ . Además, denota $\mathscr B_{\text{ord}}$ para ser la base que define $\mathscr T$ .
Para mostrar $\mathscr B$ es una base para la topología de orden $\mathscr T$ debemos demostrar que para todo $A \in \mathscr T$ y $x \in A$ podemos encontrar $B \in \mathscr B$ s.t. $x \in B \subseteq A$ .
Dejemos que $A \in \mathscr T$ y $x \in A$ . Por definición de $A$ es un elemento de $\mathscr T$ tenemos que para todos $x \in A$ podemos encontrar $B_{\text{ord}} \in \mathscr B_{\text{ord}}$ s.t. $x \in B_{\text{ord}} \subseteq A$ . Ahora, nos preguntamos cómo $B_{\text{ord}}$ puede ayudarnos a encontrar $B$ . Bueno, por defecto de $B_{\text{ord}}$ es un elemento de $\mathscr B_{\text{ord}}$ , como por ejemplo $B_{\text{ord}}$ está en una de las tres formas siguientes:
$1. B_{\text{ord}} = (a,b)$
Obviamente, elija $B=B_{\text{ord}}$ .
$2. B_{\text{ord}} = [a_0,b)$
Esta expresión tiene sentido si y sólo si $X$ tiene un mínimo dado por $a_0 := \min X$ . Así, por def del rayo abierto $(-\infty,b)$ tenemos que $[a_0,b)=(-\infty,b)$ . Por lo tanto, podemos elegir, pero no es evidente, $B=B_{\text{ord}}$ .
$3. B_{\text{ord}} = (a,b_0]$
Similar a (2):
Esta expresión tiene sentido si y sólo si $X$ tiene un máximo dado por $b_0 := \max X$ . Así, por def del rayo abierto $(a,\infty)$ tenemos que $(a,b_0]=(a,\infty)$ . Por lo tanto, podemos elegir, pero no es evidente, $B=B_{\text{ord}}$ .
Por lo tanto, $\mathscr B$ es una base para la topología de orden $\mathscr T$ , por el lema 13.2 (que no estoy muy seguro de que sea diferente de la definición de una base en sí, pero da igual).
Por lo tanto, $\mathscr S$ es una subbase para $\mathscr T$ .
QED
Teniendo en cuenta que esta prueba se basa en las mismas observaciones (las tres formas) que la prueba original, las pruebas me parecen bastante equivalentes.
Demostración de que la siguiente colección $\mathscr S$ es una subbase para la topología del producto $\mathscr T$
$$\mathscr S = \{\pi_{1}^{-1}(U):\text{U open in X}\}\cup\{\pi_{1}^{-1}(V):\text{V open in Y}\} \tag{*}$$
demostrando que $\mathscr B$ de todas las intersecciones finitas de elementos de $\mathscr S$ es una base para $\mathscr T$ :
(Es de esperar que sea obvio que $\mathscr S$ en (*) es una subbase para alguna topología en $X \times Y$ .)
Primero, $\mathscr B = \{ \bigcap_{i_j=i_1}^{i_n} S_{i_j} : S_{ij} \in \mathscr S \}$ . Además, denota $\mathscr B_{X \times Y}$ para ser la base que define $\mathscr T$ y $\mathscr T_X$ y $\mathscr T_Y$ como cualquier topología de, resp, $X$ y $Y$ .
Para mostrar $\mathscr B$ es una base para la topología del producto $\mathscr T$ debemos demostrar que para todo $A \in \mathscr T$ y $(x,y) \in A$ podemos encontrar $B \in \mathscr B$ s.t. $(x,y) \in B \subseteq A$ .
Dejemos que $A \in \mathscr T$ y $(x,y) \in A$ . Por definición de $A$ es un elemento de $\mathscr T$ tenemos que para todos $(x,y) \in A$ podemos encontrar $B_{X \times Y} \in \mathscr B_{X \times Y}$ s.t. $(x,y) \in B_{X \times Y} \subseteq A$ . Ahora, nos preguntamos cómo $B_{X \times Y}$ puede ayudarnos a encontrar $B$ . Bueno, por defecto de $B_{X \times Y}$ es un elemento de $\mathscr B_{X \times Y}$ existe $U_B \in \mathscr T_X, V_B \in \mathscr T_Y$ s.t. $B_{X \times Y}$ viene dada por
$$B_{X \times Y} = \pi_{1}^{-1}(U_B) \cap \pi_{2}^{-1}(V_B) \tag{**},$$
donde
$\pi_{1}^{-1}(U_B) \in \mathscr S$ para $V=\emptyset=\pi_{1}^{-1}(\emptyset)=X \times \emptyset$ y $\pi_{2}^{-1}(V_B) \in \mathscr S$ para $U=\emptyset=\pi_{2}^{-1}(\emptyset)=\emptyset \times Y$
Por lo tanto, $\mathscr B$ es una base para la topología del producto $\mathscr T$ , por el lema 13.2 (que no estoy muy seguro de que sea diferente de la definición de una base en sí, pero da igual).
Por lo tanto, $\mathscr S$ en (*) es una subbase para $\mathscr T$ .
QED
Considerando que esta prueba se basa en la misma observación $(**)$ como la prueba original, las pruebas me parecen bastante equivalentes.
