$\frac{|x|-|y|}{|x-y|}$

Question

Dejemos que $x\neq y$ . Qué valores $\frac{|x|-|y|}{|x-y|}$ ¿puede tomar?

Lo he intentado: Si $|x|>|y|$ Es decir, es $1$ , si $|x|<|y|$ Es decir, es $-1$ y si $|x|=|y|$ Es decir, es $0$ . ¿Me he perdido algo?

Answer 1

Tenemos $|x-y| \geq ||x| - |y||$ así que $$ \frac{|x|-|y|}{|x-y|} \in [-1,1] $$ para todos $x,y \in \Bbb R$ , $x \neq y$ .

Además, cada elemento $a \in [-1,1]$ se puede obtener. Ya ha encontrado $1$ , $-1$ y $0$ .

Para $a \in (0,1)$ , ajuste $x = -\frac{1}{2}(\frac{1}{a} + 1)$ y $y = \frac{1}{2}(\frac{1}{a} - 1)$ da $$|x-y| = \frac{1}{a}$$ y $$|x| - |y| = 1.$$ Para $a \in (-1,0)$ puedes tomar $x = \frac{1}{2}(\frac{1}{|a|} - 1)$ y $y = -\frac{1}{2}(\frac{1}{|a|} + 1)$ para obtener $$ |x-y| = \frac{1}{|a|} $$ y $$|x| - |y| = -1.$$

En cualquier caso, se obtiene $\frac{|x|-|y|}{|x-y|} = a$ como se desee.

Answer 2

Dejemos que $y=0$ y $x=1$ .

Así, obtenemos un valor $1$ .

Demostraremos que es un valor máximo.

De hecho, tenemos que demostrar que $$\frac{|x|-|y|}{|x-y|}\leq1$$ o $$|x|-|y|\leq|x-y|$$ o $$|x-y|+|y|\geq|x|,$$ lo cual es cierto por la desigualdad del triángulo: $$|x-y|+|y|\geq|x-y+y|=|x|.$$

Para $x=0$ y $y=-1$ obtenemos un valor $-1$ .

Vamos a demostrar que es un valor mínimo.

De hecho, tenemos que demostrar que $$\frac{|x|-|y|}{|x-y|}\geq-1$$ o $$|x|-|y|\geq-|x-y|$$ o $$|x-y|+|x|\geq|y|,$$ lo que es cierto por la desigualdad del triángulo de nuevo: $$|x-y|+|x|=|x-y|+|-x|\geq|x-y-x|=|y|.$$ Id est, $$-1\leq \frac{|x|-|y|}{|x-y|}\leq1.$$ Ahora, dejemos que $x>0$ , $k\geq0$ y $y=-kx$ .

Así, $$\frac{|x|-|y|}{|x-y|}=\frac{1-k}{1+k}$$ y como para todo $l\in(-1,1]$ hay $k\geq0$ para lo cual $-1<\frac{1-k}{1+k}\leq1$ ,

obtenemos que $\frac{|x|-|y|}{|x-y|}$ puede obtener todo el valor de $[-1,1]$ .