Una pregunta sobre el $\ker$ de un homomorfismo de grupo particular, donde los grupos son ambos los números complejos no nulos con multiplicación.

Question

La siguiente declaración está parafraseada de Álgebra lineal: Un enfoque matemático puro por Harvey E. Rose en la página 2-3.

Si $G$ es un grupo de los números complejos no nulos con multiplicación, y $G=H$ entonces $\theta: G \to H$ dado por $c\theta=c/|c|$ , donde $c\in\mathbb{C}$ y $|\cdot|$ denota la función de valor absoluto habitual, entonces $\theta$ es un homomorfismo y $\ker \theta$ es igual al conjunto de números complejos con valor absoluto 1; el lector debe comprobarlo.

Mi razonamiento:

El elemento neutro en $G$ y $H$ debe ser $1+i0$ ¿verdad? Porque $1+0i\neq 0$ y $1+0i$ es la identidad multiplicativa de $\mathbb{C}$ . Así que, $\ker\theta=\{g\in G : g\theta= 1\}$ ¿verdad?

Entonces, traté de verificar $\ker\theta$ dejando $\xi=0.25+i\sqrt{1-0.25^2}$ entonces $|\xi|=1$ pero $\xi/|\xi|\neq 1+i0$ . Así, $\ker \theta$ no es el conjunto de números complejos con valor absoluto 1. Creo que $\ker\theta =\{1\}$ pero no estoy seguro, ¿es esto correcto?

Answer 1

Tienes razón, el núcleo es sólo $1$ . Geométricamente, este mapa aprieta el plano complejo perforado sobre el círculo unitario (no cambia el argumento de un número complejo, por lo que envía $re^{i\theta}$ a $e^{i \theta}$ ). Si se piensa de esta manera y se hacen algunos dibujos, está claro que el $\textbf{image}$ es el conjunto de los números complejos con módulo uno porque éste es exactamente el círculo unitario. Si has estudiado algo de topología puede que reconozcas esto como un repliegue de $\mathbb{C}-\{0\}$ a $S^1$ .