Convergencia de $\sum_{i=0}^n \frac{(\log(n+i)-\log n)^2}{n+i}$

Question

Definir una secuencia $S_n$ de los números reales por $\sum_{i=0}^n \frac{(\log(n+i)-\log n)^2}{n+i}$ . ¿El $\lim_{n\to \infty}S_n$ ¿Existe? Si es así, calcula el valor de este límite.

Estoy obteniendo dos respuestas diferentes si utilizo el teorema de Cauchy y si lo convierto en forma integral. Necesito ayuda.

Intento:

Dejemos que $f_n$ = $n\frac{(\log(n+n)-\log n)^2}{n+n}$ = $\frac{(log2)^2}2$ a medida que n tiende a $\infty$ Por lo tanto, por el Teorema de Cauchy $\sum \frac{f_1 + f_2+...+f_n}n$ = $S_n$ y $\lim_{n\to \infty}S_n$ = $\lim_{n\to \infty}f_n$ = $\frac{(log2)^2}2$

Answer 1

Bueno, $\log(i+n)-\log n = \log\left(1+\frac{i}{n}\right)$ es no negativo pero menor que $\frac{i}{n}$ y..: $$ \sum_{i=0}^{n}\frac{i^2}{n^2(n+i)}=\sum_{i=0}^{n}\left(\frac{1}{n+i}-\frac{n-i}{n^2}\right)=H_{2n}-H_{n-1}-\frac{n+1}{n}+\frac{n(n+1)}{2n^2}$$ es convergente a $\log(2)-\frac{1}{2}$ . Entonces, por un argumento de suma de Riemann: $$ \lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n}\frac{\log^2\left(1+\frac{i}{n}\right)}{1+\frac{i}{n}}=\int_{0}^{1}\frac{\log^2(1+x)}{1+x}\,dx=\left.\frac{1}{3}\log^3(1+x)\right|_{0}^{1}=\color{red}{\frac{\log^3 2}{3}}.$$

Answer 2

Puedo probar $S_n$ está acotado, pero para la convergencia también se necesita monotonicidad (que creo que se tiene, ya que al pasar de $n$ a $n+1$ se eliminan los términos grandes y se añaden los más pequeños, por lo que debería ser decreciente). En cualquier caso, observe que

$$ S_n \leq \frac{\ln^2 2}{n} + \sum_{i=1}^n \frac{(\ln(2n-1)-\ln n)^2}{n+i}\\ = \frac{\ln^2 2}{n} + \sum_{i=1}^n \frac{\left(\ln\left(1+1-\frac{1}{n}\right)\right)^2}{n+i}\\ \leq \frac{\ln^2 2}{n} + \sum_{i=1}^n \frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)^2}{n+i}\\ = \frac{\ln^2 2}{n} + \frac{(n-1)^2}{n^2}\sum_{i=1}^n \frac{1}{(n+i)} $$

La primera parte se aproxima a cero, así que si demostramos que la segunda parte está acotada, hemos terminado. Además, fíjate en que el coeficiente que precede a la suma se aproxima a 1, así que la única cuestión es si esta cantidad converge o no

$$ c_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n+i} = \sum_{i=1}^{2n} \frac{1}{i} - \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} $$

Pero sumar y restar $\ln(2n)$ obtenemos

$$ c_n = \sum_{i=0}^{2n} \frac{1}{i} - \ln(2n) - \sum_{i=0}^n \frac{1}{i} + \ln(n) + \ln 2 \to \gamma - \gamma + \ln 2 = \ln 2 $$ donde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni. Por lo tanto, el límite superior converge, y por lo tanto está acotado. Por lo tanto, $S_n$ está acotado.