probabilidad de que la vida total de 40 pilas supere los 1700

Question

Cada una de las pilas de una colección de 40 pilas tiene la misma probabilidad ser de un tipo $A$ o un tipo $B$ batería. Tipo $A$ las baterías duran una cantidad de tiempo que ha significado $50$ y la desviación estándar $15$ ; tipo $B$ las baterías duran una cantidad de tiempo que tiene media $30$ y la desviación estándar $6$ .

Pregunta - Aproximar la probabilidad de que la vida total de todos los $40$ Las baterías superan $1700$ .

Respuesta editada

Sea Y el tipo de pila, donde $Y = 1$ para el tipo $A$ batería y $Y =2$ para el tipo $B$ batería.

$E[X] = E[E[X|Y]] = E[X|Y=1]P[Y=1] + E[X|Y=2]P[Y=2] = (50*0.5) + (30*0.5) = 40$

$Var[X] =E[X^2] - [E[X]]^2$

Por lo tanto, tenemos que encontrar $E[X^2]$ , $E[X^2] = E[E[X^2|Y]] = E[X^2|Y=1]P[Y=1] + E[X^2|Y=2]P[Y=2] = (15^2+50^2)(0.5)+(30^2+6^2)(0.5) = 1830.5$

Por eso, $Var(X) = 1830.5 - 40^2 = 230.5 $

Conociendo la varianza y la media, ¿cómo hago la siguiente parte?

Answer 1

La pregunta clave que hay que hacerse es: si se supiera de antemano cuántas baterías hay de cada tipo, ¿cómo se modelaría la distribución resultante de la vida útil total?

En otras palabras, supongamos que usted es capaz de decir que $Y$ las baterías eran del tipo $A$ y $40 - Y$ las pilas eran del tipo B. Entonces podría numerar las pilas de forma que $$T_1, \ldots, T_Y \sim \operatorname{Normal}(\mu_A = 50, \sigma_A = 15)$$ representan los tiempos de vida aleatorios del Tipo $A$ baterías, y $$T_{Y+1}, \ldots, T_{40} \sim \operatorname{Normal}(\mu_B = 30, \sigma_B = 6)$$ representan los tiempos de vida aleatorios del Tipo $B$ baterías. Ahora, como la suma de distribuciones normales independientes (pero no necesariamente idénticamente distribuidas) es en sí misma normal, podemos modelar la vida aleatoria total acondicionado en $Y$ : $$S \mid Y \sim \operatorname{Normal}(\mu , \sigma)$$ donde $$\mu = \mu_A Y + \mu_B (40-Y) = 50Y + 30(40-Y) = 20Y + 1200,$$ y $$\sigma^2 = \sigma_A^2 Y + \sigma_B^2 (40-Y) = 225 Y + 36(40-Y) = 189Y + 1440.$$ Tenga en cuenta que el desviación es aditivo, no las desviaciones estándar en sí. Por lo tanto, la probabilidad condicional que la vida total de todos los $40$ baterías es más que $1700$ dado que $Y$ las baterías son del tipo $A$ es $$\Pr[S > 1700 \mid Y] = \ldots.$$ Entonces el incondicional La probabilidad (marginal) se calcula como $$\Pr[S > 1700] = \sum_{y=0}^{40} \Pr[S > 1700 \mid Y = y] \Pr[Y = y],$$ donde $$Y \sim \operatorname{Binomial}(n = 40, p = 1/2).$$ Este cálculo dará un resultado exacto, no una aproximación. Te dejo que continúes esta línea de razonamiento, y que apliques la(s) aproximación(es) adecuada(s) si es necesario, para obtener un resultado.