Continuidad de una función en términos de cierre e interior

Question

He conseguido demostrar que los siguientes son equivalentes (donde $f^*$ y $f_*$ son la preimagen y la imagen de f respectivamente):

$\bullet$ $f:X \rightarrow Y$ es continua

$\bullet$ $f^*(S^{\circ}) \subseteq f^*(S)^{\circ}$

$\bullet$ $\overline{f^*(S)} \subseteq f^*(\overline{S})$

$\bullet$ $f_*(\overline{S}) \subseteq \overline{f_*(S)}$

¿También es equivalente lo siguiente? $f_*(S)^\circ \subseteq f_*(S^\circ)$ (o algo similar)? No he conseguido llegar muy lejos, aunque mi prueba de la condición 3 giraba en torno al hecho de que las preimágenes, los complementos, los interiores y los cierres se comportan bien juntos, mientras que éste no es el caso de la imagen de una función, por lo que creo que esto puede no ser cierto.

Answer 1

Tkr proporcionó un ejemplo que muestra que int $(f(S))\subseteq f($ int $(S)$ no implica continuidad. Para ver que la continuidad no implica la propiedad considere $f:\Bbb R\to\Bbb R_{\ge0}$ ,
$f(x)=\begin{cases} 0, \text{ if }x\le0\\ x, \text{ if }x\ge0 \end{cases}$
Dejemos que $S=[0,1]$ . Entonces int $(f(S))=[0,1)$ pero $f($ int $(S))=(0,1)$

Por otro lado, este mapa $f$ considerado como un mapa $\Bbb R\to\Bbb R$ no satisface $f($ int $(S))\subseteq$ int $(f(S))$ (la inclusión inversa), ya que para $S=[-1,1]$ el primero es $[0,1)$ mientras que el segundo es $(0,1)$ .

Para ver que esta inclusión no implica continuidad, consideremos el mapa $g:\Bbb R\to \{0,1\}$
$g(x)=\begin{cases} 0 \text{, if }x<0\\ 1 \text{, if }x\ge0 \end{cases}$

Pero se puede demostrar que la inclusión posterior es equivalente a la apertura de $f$ . La primera inclusión es bastante inútil.

Answer 2

La imagen continua de un conjunto no vacío con interior vacío puede tener interior no vacío, por lo que podemos tener $(f_*(S))^o\not=\phi$ y $f_*(S^o)=\phi$ . Por ejemplo, si f es la función Escalera del Diablo, que mapea [0,1] sobre sí misma de forma continua, y S es el conjunto de Cantor, entonces f(S)=[0,1] e int(S)= $\phi$ .